هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية غير الموجهة
  2. Bالرسوم البيانية التامة
  3. Cالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  4. Dالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة ثنائية مخزّنة في مصفوفة تبدأ من الفهرس 0، أين أبو العقدة ذات الفهرس i؟

  1. Aفي الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. Bفي الفهرس 2i + 1
  3. Cفي الفهرس i − 1
  4. Dفي الفهرس ⌊i / 2⌋ + 1
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
  2. Bفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي فرز الحواف بحسب الوزن
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 5, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1368115123138ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

A · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

C · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋

لماذا هذه هي الإجابة

ابنا i في 2i + 1 و2i + 2، فيكون أبو i في ⌊(i − 1) / 2⌋، ومع الفهرسة من 1 يكون ⌊i / 2⌋.

الإجابة

A · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 21

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

الإجابة

L = 21

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 32

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 13
B (13): C: 19, D: 21, G: 16
G (16): E: 24
C (19): E: 20
E (20): F: 32
D (21)
F (32)

أقصر مسار

A → B → C → E → F
d(F) = 32

الإجابة

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms