هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتستخدم العودية فقط
  2. Bتجرّب كل حل ممكن
  3. Cتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
  4. Dتعطي الحل الأمثل دائمًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aغير قابلة للحسم
  2. Bتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  3. Cنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
  4. Dنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
  2. Bلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  3. Cلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
  4. Dلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
4.هياكل البياناتصعبة

ما الميزة الرئيسية لقائمة التخطي (skip list) مقارنةً بقائمة مترابطة مرتبة؟

  1. Aتخزّن المفاتيح دون ترتيب
  2. Bبحث مضمون في O(1) لأن كل عقدة تخزّن مؤشرًا إلى كل عقدة أخرى
  3. Cلا تستخدم ذاكرة إضافية
  4. Dبحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
37165919110817ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس B. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Bk = 2
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة GB
  9. 9الحافة GD
  10. 10الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

C · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

C · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية

لماذا هذه هي الإجابة

تتيح المستويات العشوائية للبحث تخطي عقد كثيرة، مما يعطي زمنًا متوقعًا قدره O(log n) للبحث والإدراج والحذف.

الإجابة

D · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AB (3)
2. BD (5)
3. AC (7)
4. GD (8)
5. CE (9)
6. EF (1)

رقم الحافة 2

BD

الإجابة

الحافة BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms