هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

  1. Aمصفوفة طولها 2
  2. Bمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
  3. Cمصفوفة بترتيب عشوائي
  4. Dمصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
  2. Bتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
  3. Cتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
  4. Dبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تعمل عملية استخراج الأصغر (extract-min) في كومة ثنائية صغرى؟

  1. Aيُزال العنصر الأخير من المصفوفة
  2. Bيُبحث في كل الأوراق عن الأصغر الجديد
  3. Cيُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
  4. Dيُزال الجذر وتُزاح كل العناصر موضعًا واحدًا إلى اليسار
4.هياكل البياناتصعبة

شجرة Fenwick (الشجرة المفهرسة ثنائيًا) على مصفوفة من n عددًا تدعم أي عمليات في O(log n)؟

  1. Aاستعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
  2. Bفرز المصفوفة والبحث الثنائي
  3. Cإيجاد الوسيط في O(1)
  4. Dإدراج العناصر في أي موضع
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
1218102056171147ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس A. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ak = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة GB
  8. 8الحافة GC
  9. 9الحافة GD
  10. 10الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مصفوفة مرتبة مسبقًا

لماذا هذه هي الإجابة

في المدخلات المرتبة يكون المحور دائمًا الأصغر، فيكون أحد الجانبين فارغًا والآخر فيه n − 1 عنصر، فيكون التعقيد O(n²).

الإجابة

D · مصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

D · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل

لماذا هذه هي الإجابة

يملأ العنصر الأخير الفراغ في الجذر ويُبدَّل مع ابنه الأصغر حتى تتحقق خاصية الكومة، ويستغرق ذلك O(log n).

الإجابة

C · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة Fenwick مجاميع جزئية على مدى تحدده البتات الدنيا لكل فهرس، فيستغرق كل من مجموع البادئة والتحديث النقطي O(log n).

الإجابة

A · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AB (12)
2. BD (10)
3. GD (4)
4. DE (5)
5. DF (6)
6. GC (11)

رقم الحافة 4

DE

الإجابة

الحافة DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms