هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  2. Bتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  3. Cتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  4. Dتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أخذ طرفي كل حافة في تطابق أعظمي (maximal matching) يعطي غطاءً رأسيًا. ما جودة هذا الغطاء؟

  1. Alog n ضعف الأصغر على الأكثر
  2. Bجودته مجهولة مقارنةً بالأمثل
  3. Cضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
  4. Dغطاء رأسي أصغر دائمًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aطابور ثابت الحجم
  2. Bدالة تجزئة
  3. Cشجرة بحث ثنائية
  4. Dاجتياز مخطط
4.هياكل البياناتصعبة

لكي يعمل جدول التجزئة بشكل صحيح، أي قاعدة يجب أن تتبعها التجزئة والمساواة؟

  1. Aيجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
  2. Bيجب أن تكون للمفاتيح المختلفة قيم تجزئة مختلفة
  3. Cيجب أن تكون قيم التجزئة أعدادًا أولية
  4. Dتساوي قيم التجزئة يستلزم تساوي المفاتيح
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 10 رؤوس و10 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 10|E| = 10
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

B · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

حواف التطابق لا تشترك في رؤوس، فيحتاج الأمثل رأسًا واحدًا على الأقل لكل حافة، بينما تأخذ هذه الطريقة اثنين: تقريب بمعامل 2.

الإجابة

C · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

A · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية

لماذا هذه هي الإجابة

لو جُزّئ مفتاحان متساويان بقيمتين مختلفتين لخُزّنا في دلوين مختلفين ولفشل البحث، أما المفاتيح غير المتساوية فقد تشترك في التجزئة.

الإجابة

A · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 1

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

10 − 1 = 9

الحواف المراد حذفها

k = 10 − 9 = 1

الإجابة

k = 1
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms