هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي عبارة صحيحة عن دالة عودية ليس لها حالة أساس قابلة للبلوغ؟

  1. Aتواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
  2. Bيحولها المترجم دائمًا إلى حلقة تنتهي بأمان
  3. Cتُرجع 0 تلقائيًا
  4. Dتعمل في زمن O(1)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة P صحيح؟

  1. Aالمسائل التي يمكن التحقق من حلولها لكن لا يمكن إيجادها أبدًا في زمن كثير حدود
  2. Bمسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
  3. Cالمسائل التي يمكن حلها على التوازي
  4. Dالمسائل التي تحتاج إلى زمن أسّي على كل حاسوب
3.هياكل البياناتمتوسطة

يحتاج تطبيق إلى بحث سريع، وإلى سرد المفاتيح مرتبة والإجابة عن استعلامات المدى. أي بنية هي الأنسب؟

  1. Aجدول تجزئة
  2. Bقائمة مترابطة غير مرتبة
  3. Cمكدس
  4. Dشجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلإبقاء المصفوفة مرتبة
  2. Bلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  3. Cلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
  4. Dلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
10586121110117ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات

لماذا هذه هي الإجابة

بدون حالة أساس لا تتوقف العودية أبدًا، وعمليًا تنفد ذاكرة إطارات المكدّس ويتعطل البرنامج.

الإجابة

A · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

تحتوي P مسائل القرار التي لها خوارزمية حتمية في زمن كثير حدود، مثل التحقق من اتصال رسم بياني.

الإجابة

B · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · شجرة بحث ثنائية متوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي شجرة البحث المتوازنة بحثًا في O(log n) وتُبقي المفاتيح مرتبة، فيسهل الاجتياز الوسطي واستعلامات المدى، أما جدول التجزئة فيبعثر المفاتيح.

الإجابة

D · شجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

B · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 10, C: 5
2. C (5): E: 17
3. B (10): D: 16, G: 21
4. D (16): F: 27
5. E (17)
6. G (21)
7. F (27)

الجولة 4

D

الإجابة

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms