هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مسألة اختيار الأنشطة، أي قاعدة جشعة تعطي دائمًا أكبر عدد من الأنشطة غير المتداخلة؟

  1. Aاختر النشاط الأقل تداخلًا أولًا، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
  2. Bاختر أقصر نشاط أولًا
  3. Cاختر النشاط الذي يبدأ أبكر
  4. Dاختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  2. Bتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
  3. Cتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
  4. Dتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما ارتفاع شجرة البحث الثنائية ذات n عقدة في أسوأ الحالات إذا أُدرجت المفاتيح بترتيب تصاعدي؟

  1. A√n
  2. Bn (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تستخدم قواعد البيانات غالبًا أشجار B+ بدلًا من أشجار B العادية للفهارس؟

  1. Aلأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
  2. Bلأن أشجار B+ لا تحتاج إلى التوازن
  3. Cلأن أشجار B+ تستخدم عقدًا داخلية ثنائية، ما يقلل عدد قراءات القرص
  4. Dلأن أشجار B+ لا تخزّن البيانات إلا في الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 34 × deg 54 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1885158143ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة

لماذا هذه هي الإجابة

يمكن إثبات أمثلية اختيار أبكر وقت انتهاء بحجة التبديل، أما القواعد الأخرى فلها أمثلة مضادة.

الإجابة

D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

A · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · n (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)

لماذا هذه هي الإجابة

يُنتج الإدراج المرتب شجرة منحلّة ارتفاعها n، فيصبح البحث O(n). الأشجار المتوازنة تمنع ذلك.

الإجابة

B · n (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا

لماذا هذه هي الإجابة

في شجرة B+ لا توجّه العقد الداخلية إلا البحث، والأوراق مترابطة بترتيب المفاتيح، فيجد استعلام المدى المفتاح الأول ثم يسير على طول الأوراق.

الإجابة

A · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 16

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

الإجابة

L = 16

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: C

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 1, C: 8
2. B (1): D: 6
3. D (6): E: 14, F: 20
4. C (8)
5. E (14): F: 17
6. F (17)

الجولة 4

C

الإجابة

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms