هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تُنفِّذ دالة حلقة من n تكرارًا، ثم بشكل منفصل حلقة أخرى من n تكرارًا. ما تعقيدها الزمني؟

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لإثبات أن مسألة جديدة X هي NP-صعبة، ماذا يجب أن تفعل؟

  1. Aأن تختزل X إلى مسألة NP-صعبة معروفة في زمن كثير حدود
  2. Bأن تبيّن أنه يمكن التحقق من X في زمن كثير حدود
  3. Cأن تبيّن أن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود للمدخلات الصغيرة
  4. Dأن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، ما أقصى معامل تحميل ممكن؟

  1. A0,5
  2. Bلا يوجد حد أقصى
  3. C2
  4. D1
4.هياكل البياناتصعبة

ما كلفة الزمن والمساحة الإضافية لعكس قائمة مترابطة أحادية في مكانها؟

  1. Aزمن O(n log n) ومساحة إضافية O(1)
  2. Bزمن O(1) ومساحة إضافية O(1)
  3. Cزمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
  4. Dزمن O(n) ومساحة إضافية O(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
832139141710ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

n + n = 2n، وتُسقط المعاملات الثابتة، فتكون الدالة O(n).

الإجابة

A · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

إذا أمكن تحويل مسألة صعبة معروفة إلى X بكفاءة، فإن خوارزمية سريعة لـ X ستحل المسألة المعروفة أيضًا.

الإجابة

D · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 1

لماذا هذه هي الإجابة

في العنونة المفتوحة تُخزَّن كل المفاتيح في الجدول نفسه، فلا يمكن أن تتجاوز n قيمة m، أما التسلسل المنفصل فقد يكون معامل تحميله أكبر من 1.

الإجابة

D · 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

الاحتفاظ بثلاثة مؤشرات (السابق، والحالي، والتالي) يتيح عكس كل رابط في مرور واحد دون حجز عقد جديدة.

الإجابة

C · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 20

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

الإجابة

L = 20

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 38

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BC (2): خذ
AC (3): خذ
AB (8): تخطَّ، تُغلق دورة
DE (9): خذ
BE (10): خذ
CE (13): تخطَّ، تُغلق دورة
DF (14): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 3 + 9 + 10 + 14 = 38

الإجابة

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms