هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كيف تبني خوارزمية Prim شجرة امتداد صغرى؟

  1. Aتُنمّي شجرة واحدة من رأس بداية، مضيفةً أرخص حافة خارجة من الشجرة
  2. Bترتب كل الحواف حسب الوزن وتضيف كل حافة ما لم تُشكّل دورة في الغابة
  3. Cتحذف أغلى حافة حتى لا تبقى دورات
  4. Dتُنفّذ البحث بالعرض أولًا وتحتفظ بشجرة BFS
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  2. Bنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  3. Cلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  4. Dلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي شرط توازن تحافظ عليه شجرة AVL عند كل عقدة؟

  1. Aأن تحتوي الشجرتان الفرعيتان لكل عقدة العدد نفسه تمامًا من العقد
  2. Bألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
  3. Cأن تكون كل الأوراق على العمق نفسه بالضبط
  4. Dأن تُلوَّن كل عقدة بالأحمر أو الأسود
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تتفوق شجرة radix (الـ trie المضغوط) على الـ trie العادي؟

  1. Aتدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
  2. Bلا تحتفظ إلا بالحرف الأول من كل كلمة
  3. Cتخزّن كل كلمة في جدول تجزئة عند الجذر بدل العقد المنفصلة
  4. Dترتب أبناء كل عقدة بحسب التكرار
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 4، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 4
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تُنمّي شجرة واحدة من رأس بداية، مضيفةً أرخص حافة خارجة من الشجرة

لماذا هذه هي الإجابة

تعمل خوارزمية Prim، مع طابور أولويات للحواف العابرة، في زمن O(E log V) باستخدام كومة ثنائية.

الإجابة

A · تُنمّي شجرة واحدة من رأس بداية، مضيفةً أرخص حافة خارجة من الشجرة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1

لماذا هذه هي الإجابة

يجب أن يكون معامل التوازن (الارتفاع الأيسر − الارتفاع الأيمن) −1 أو 0 أو 1، وتعيده الدورانات بعد الإدراج والحذف.

الإجابة

B · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية

لماذا هذه هي الإجابة

طي المسارات التي لا تفرع فيها يقلل عدد العقد والذاكرة المستخدمة مع الإبقاء على البحث بالبادئة.

الإجابة

A · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms