هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
  2. Bتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
  3. Cتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
  4. Dتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم عقدة لشجرة ثنائية كاملة (perfect) ارتفاعها h، مع عدّ الارتفاع بالحواف؟

  1. A2h+1 − 1
  2. Bh2
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تكشف ما إذا كانت قائمة مترابطة أحادية تحتوي دورة باستخدام ذاكرة إضافية O(1)؟

  1. Aحرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
  2. Bخزّن كل عقدة مزورة في مجموعة تجزئة
  3. Cعُدّ العقد حتى يتجاوز العدد حقل طول القائمة
  4. Dرتب القائمة وابحث عن التكرارات
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
117612187149104ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق النظرية الرئيسية تهيمن nlog₂ 2 = n على العمل الثابت، فيكون T(n) = Θ(n)، كما في إيجاد القيمة العظمى بالتقسيم إلى نصفين.

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 2h+1 − 1

لماذا هذه هي الإجابة

جمع 1 + 2 + 4 + ... + 2h يعطي 2h+1 − 1، فمثلًا الارتفاع 2 يعطي 7 عقد.

الإجابة

A · 2h+1 − 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا

لماذا هذه هي الإجابة

في خوارزمية Floyd، إذا وُجدت دورة يلحق المؤشر السريع في النهاية بالبطيء، وإلا يصل المؤشر السريع إلى null.

الإجابة

A · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

A, E, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 39

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

AC (1): خذ
GE (4): خذ
BD (6): خذ
DF (7): خذ
GB (9): خذ
GD (10): تخطَّ، تُغلق دورة
CE (12): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 4 + 6 + 7 + 9 + 12 = 39

الإجابة

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms