هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مسألة اختيار الأنشطة، أي قاعدة جشعة تعطي دائمًا أكبر عدد من الأنشطة غير المتداخلة؟

  1. Aاختر أقصر نشاط أولًا
  2. Bاختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
  3. Cاختر النشاط الأقل تداخلًا أولًا، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
  4. Dاختر النشاط الذي يبدأ أبكر
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا لا يعطي البحث الثنائي زمن O(log n) على قائمة مترابطة أحادية؟

  1. Aلأن البحث الثنائي يحتاج إلى ضعف الذاكرة على الأقل
  2. Bلأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
  3. Cلأن القوائم المترابطة لا يمكن فرزها
  4. Dلأن المقارنات على عقد القائمة المترابطة أبطأ
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aدالة تجزئة
  2. Bاجتياز مخطط
  3. Cشجرة بحث ثنائية
  4. Dطابور ثابت الحجم
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تستخدم قواعد البيانات غالبًا أشجار B+ بدلًا من أشجار B العادية للفهارس؟

  1. Aلأن أشجار B+ تستخدم عقدًا داخلية ثنائية، ما يقلل عدد قراءات القرص
  2. Bلأن أشجار B+ لا تحتاج إلى التوازن
  3. Cلأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
  4. Dلأن أشجار B+ لا تخزّن البيانات إلا في الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
118171517161219ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس C. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ck = 4
  1. 1الحافة AC
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DF
  6. 6الحافة EF
  7. 7الحافة GB
  8. 8الحافة GD
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة

لماذا هذه هي الإجابة

يمكن إثبات أمثلية اختيار أبكر وقت انتهاء بحجة التبديل، أما القواعد الأخرى فلها أمثلة مضادة.

الإجابة

B · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج البحث الثنائي إلى وصول O(1) إلى العنصر الأوسط، وفي القائمة المترابطة يكلف السير إليه زمنًا خطيًا، فيكون المجموع O(n).

الإجابة

B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

D · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا

لماذا هذه هي الإجابة

في شجرة B+ لا توجّه العقد الداخلية إلا البحث، والأوراق مترابطة بترتيب المفاتيح، فيجد استعلام المدى المفتاح الأول ثم يسير على طول الأوراق.

الإجابة

C · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 1

الرؤوس الفردية

A, C, E, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة EF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. BC (8)
2. AC (11)
3. CE (15)
4. EF (7)
5. DF (1)
6. GD (12)

رقم الحافة 4

EF

الإجابة

الحافة EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms