هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن ترميز o الصغير صحيحة؟

  1. A2n = o(n)، لأن 2n تنمو ببطء
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n)، لأن كل دالة هي o صغير لنفسها
  4. Dn = o(n²)، لكن n ليست o(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق البحث عن كلمة طولها L في trie بأبجدية ثابتة؟

  1. AO(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
  2. BO(L × n)
  3. CO(log n)، حيث n عدد الكلمات
  4. DO(n)، حيث n عدد الكلمات
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  2. Bلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
  3. Cلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  4. Dلجعل جدول التجزئة مرتبًا
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
11109151317437ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 9
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)

لماذا هذه هي الإجابة

f = o(g) تعني أن f(n) / g(n) تؤول إلى 0، وn / n² تؤول إلى 0، لكن n / n = 1 لا تؤول إليه.

الإجابة

D · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة

لماذا هذه هي الإجابة

كل حرف يختار ابنًا واحدًا، فيستغرق البحث L خطوة أيًا كان عدد الكلمات في الـ trie.

الإجابة

A · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

B, C, D, E → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 46

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

EF (3): خذ
DF (4): خذ
GE (7): خذ
BC (9): خذ
AC (10): خذ
AB (11): تخطَّ، تُغلق دورة
CE (13): خذ

الوزن الكلي

W = 3 + 4 + 7 + 9 + 10 + 13 = 46

الإجابة

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms