هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الحد الأدنى للفرز القائم على المقارنة في أسوأ الحالات هو:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

  1. Aزمن O(n) ومساحة O(n)
  2. Bزمن O(n) ومساحة O(1)
  3. Cزمن O(log n) ومساحة O(n)
  4. Dزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
  2. Bلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
  3. Cلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  4. Dلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  2. Bلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  3. Cلجعل جدول التجزئة مرتبًا
  4. Dلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
193418192ABCDE

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس E. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ek = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Ω(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج أي فرز بالمقارنة في أسوأ الحالات إلى log₂(n!) ≈ n log n مقارنة على الأقل. ويتخطى الفرز بالعدّ (Counting sort) هذا الحد لأنه لا يقارن.

الإجابة

C · Ω(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · زمن O(n) ومساحة O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تحتاج كل خطوة إلا إلى القيمتين السابقتين، فيمكن استبدال جدول الطريقة التصاعدية بمتغيرين.

الإجابة

B · زمن O(n) ومساحة O(1)
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

A · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

B · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 17

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

الإجابة

L = 17

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. CE (1)
2. BE (2)
3. AC (3)
4. DE (9)

رقم الحافة 4

DE

الإجابة

الحافة DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms