هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
  2. Bتعطي الحل الأمثل دائمًا
  3. Cتستخدم العودية فقط
  4. Dتجرّب كل حل ممكن
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. An! هي O(n²)
  2. B2ⁿ تنمو أسرع من n!
  3. Cn! تنمو أسرع من 2ⁿ
  4. Dتنموان بالمعدل نفسه
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الصحيح بشأن مصفوفة التجاور لمخطط غير موجّه؟

  1. Aأنها مثلثية علوية دائمًا
  2. Bأنها متناظرة حول القطر الرئيسي
  3. Cأن كل صف فيه 1 واحد بالضبط
  4. Dأن قطرها الرئيسي يحتوي دائمًا آحادًا
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا لا يمكن ببساطة حذف العناصر من مرشح Bloom قياسي بمسح بتاتها؟

  1. Aلأن بتات مرشح Bloom لا يمكن تغييرها بعد إنشائه
  2. Bلأن الحذف سيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة إلى 100%
  3. Cلأن مرشحات Bloom تخزّن العناصر كاملة، ولا يمكن إيجادها ثانية بعد تجزئتها
  4. Dلأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
410271513161ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

A · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي

لماذا هذه هي الإجابة

في المخطط غير الموجّه تعني الحافة {u, v} تعيين M[u][v] وM[v][u] معًا، فتساوي المصفوفة منقولها.

الإجابة

B · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

مسح بت مشترك سيجعل عنصرًا آخر يبدو غائبًا، ومرشحات Bloom العدّادة تحفظ عدّادات بدل البتات لتسمح بالحذف.

الإجابة

D · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

C, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 30

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BE (1): خذ
BC (2): خذ
AB (4): خذ
BD (7): خذ
AC (10): تخطَّ، تُغلق دورة
DE (13): تخطَّ، تُغلق دورة
CE (15): تخطَّ، تُغلق دورة
DF (16): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 2 + 4 + 7 + 16 = 30

الإجابة

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms