هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تُنفِّذ دالة حلقة من n تكرارًا، ثم بشكل منفصل حلقة أخرى من n تكرارًا. ما تعقيدها الزمني؟

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

  1. Aزمن O(n) ومساحة O(1)
  2. Bزمن O(n) ومساحة O(n)
  3. Cزمن O(log n) ومساحة O(n)
  4. Dزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. A2i و 2i + 1
  2. Bi/2 و i/2 + 1
  3. Ci + 1 و i + 2
  4. D2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البياناتصعبة

كم يستغرق البحث عن مفتاح اعتباطي في كومة ثنائية صغرى فيها n عنصر؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(1)
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 7 رؤوس و10 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 7|E| = 10
k =
6.نظرية البياناتصعبة
4167519136ABCDE

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس A. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Ak = 2
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

n + n = 2n، وتُسقط المعاملات الثابتة، فتكون الدالة O(n).

الإجابة

A · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · زمن O(n) ومساحة O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تحتاج كل خطوة إلا إلى القيمتين السابقتين، فيمكن استبدال جدول الطريقة التصاعدية بمتغيرين.

الإجابة

A · زمن O(n) ومساحة O(1)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

D · 2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تعطي الكومة قاعدة لأي شجرة فرعية تحتوي المفتاح، ففي أسوأ الحالات يجب فحص كل العقد، والأصغر وحده سريع الإيجاد.

الإجابة

A · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 4

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

7 − 1 = 6

الحواف المراد حذفها

k = 10 − 6 = 4

الإجابة

k = 4
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AB (4)
2. BD (5)
3. BE (6)
4. BC (7)

رقم الحافة 2

BD

الإجابة

الحافة BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms