هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لبناء كومة ثنائية من n عنصر غير مرتب بالطريقة التصاعدية (bottom-up)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aانظر إلى الجذر فقط
  2. Bزُر كل ورقة وقارن بينها
  3. Cاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  4. Dاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
  2. Bمكدس لكل الحواف المزورة
  3. Cمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
  4. Dكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
9712841469ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تتنصف المسألة في كل خطوة بعمل ثابت لكل خطوة، فيكون هناك نحو log₂ n خطوة.

الإجابة

D · O(log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

جمع كلفة الإنزال (sift-down) عبر المستويات يعطي متسلسلة متقاربة، لذا يعمل بناء الكومة (heapify) في زمن خطي.

الإجابة

C · O(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

الرؤوس الفردية

A, B, D, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: B

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 9, C: 7
2. C (7): E: 11
3. B (9): D: 17
4. E (11): D: 12, F: 17
5. D (12): F: 16
6. F (16)

الجولة 3

B

الإجابة

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms