هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  2. Bتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  4. Dتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
  2. Bأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
  3. Cأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  4. Dأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما التعقيد الزمني للبحث عن مفتاح في شجرة بحث ثنائية متوازنة؟

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلجعل جدول التجزئة مرتبًا
  2. Bلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
  3. Cلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  4. Dلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
1554621216201311ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

C · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

ارتفاع الشجرة المتوازنة نحو log₂ n، لذا يتبع البحث مسارًا واحدًا من الجذر إلى ورقة.

الإجابة

C · O(log n)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 49

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

DE (2): خذ
BD (4): خذ
BC (5): خذ
CE (6): تخطَّ، تُغلق دورة
GE (11): خذ
DF (12): خذ
GD (13): تخطَّ، تُغلق دورة
AC (15): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 4 + 5 + 11 + 12 + 15 = 49

الإجابة

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms