هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

حل العلاقة التكرارية T(n) = 2T(n/2) + O(n) هو:

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن ترميز o الصغير صحيحة؟

  1. An = o(n²)، لكن n ليست o(n)
  2. Bn = o(n)، لأن كل دالة هي o صغير لنفسها
  3. C2n = o(n)، لأن 2n تنمو ببطء
  4. Dn² = o(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

طابور منفّذ بمكدسين: push إلى مكدس "in"، وpop من مكدس "out" مع إعادة ملئه من "in" حين يفرغ. ما الكلفة المستهلَكة لكل عملية؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تتفوق شجرة radix (الـ trie المضغوط) على الـ trie العادي؟

  1. Aلا تحتفظ إلا بالحرف الأول من كل كلمة
  2. Bتخزّن كل كلمة في جدول تجزئة عند الجذر بدل العقد المنفصلة
  3. Cتدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
  4. Dترتب أبناء كل عقدة بحسب التكرار
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 14 رؤوس و21 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 14|E| = 21
k =
6.نظرية البياناتصعبة
37139192174ABCDEF

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس A. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 5.

البداية: Ak = 5
  1. 1الحافة AC
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق المبرهنة الرئيسية (master theorem) مع a = 2, b = 2, f(n) = n فإن T(n) = Θ(n log n).

الإجابة

B · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)

لماذا هذه هي الإجابة

f = o(g) تعني أن f(n) / g(n) تؤول إلى 0، وn / n² تؤول إلى 0، لكن n / n = 1 لا تؤول إليه.

الإجابة

A · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يُدفع كل عنصر ويُسحب مرتين على الأكثر إجمالًا، فرغم أن إعادة ملء واحدة قد تستغرق O(n)، يكون المتوسط على سلسلة العمليات O(1).

الإجابة

D · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية

لماذا هذه هي الإجابة

طي المسارات التي لا تفرع فيها يقلل عدد العقد والذاكرة المستخدمة مع الإبقاء على البحث بالبادئة.

الإجابة

C · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

14 − 1 = 13

الحواف المراد حذفها

k = 21 − 13 = 8

الإجابة

k = 8
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AC (3)
2. BC (7)
3. BE (4)
4. BD (13)
5. DF (2)

رقم الحافة 5

DF

الإجابة

الحافة DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms