هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يكون متوسط البحث في جدول التجزئة O(1) بينما أسوأ الحالات O(n)؟

  1. Aدوال التجزئة بطيئة
  2. Bقد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
  3. Cالوصول إلى المصفوفات يستغرق O(n)
  4. Dيجب فرز المفاتيح أولًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

لعقدة في شجرة بحث ثنائية شجرة فرعية يمنى. أين يقع تاليها في الترتيب الوسطي (in-order successor)؟

  1. Aأبوها، دائمًا
  2. Bابنها الأيمن، دائمًا
  3. Cالعقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
  4. Dالعقدة الأقصى يمينًا في شجرتها الفرعية اليسرى
4.هياكل البياناتصعبة

في شجرة البحث الثنائية ذات الجذر 50، والشجرة الفرعية اليسرى 30 (ابناها 20 و40)، واليمنى 70 (ابناها 60 و80)، حُذف الجذر باستخدام تاليه في الترتيب الوسطي. أي مفتاح يصبح الجذر الجديد؟

  1. A40
  2. B70
  3. C60
  4. D80
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 43 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من C إلى E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

مع دالة تجزئة جيدة ومعامل تحميل مناسب تبقى الدلاء قصيرة في المتوسط؛ أما المدخلات العدائية أو التجزئة الرديئة فقد تضع جميع المفاتيح في دلو واحد.

الإجابة

B · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى

لماذا هذه هي الإجابة

كل المفاتيح الأكبر القريبة من العقدة في شجرتها الفرعية اليمنى، وأصغرها هو العقدة الأقصى يسارًا هناك.

الإجابة

C · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · 60

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا في الشجرة الفرعية اليمنى هي 60، فتحل محل 50 ويُزال موضعها القديم، واستخدام السابق سيعطي 40.

الإجابة

C · 60
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

الإجابة

L = 8

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)CE = 1·0 + 1·0 + 2·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms