هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  2. Bتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  3. Cتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
  4. Dتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي من مسائل الإرضاء هذه معروف أنه قابل للحل في زمن كثير حدود؟

  1. Aإرضاء الدارات
  2. B3-SAT، حيث يحتوي كل بند على ثلاثة حرفيّات بالضبط
  3. C2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
  4. DSAT العامة على صيغ في الصيغة العادية العطفية
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة ثنائية مخزّنة في مصفوفة تبدأ من الفهرس 0، أين أبو العقدة ذات الفهرس i؟

  1. Aفي الفهرس ⌊i / 2⌋ + 1
  2. Bفي الفهرس i − 1
  3. Cفي الفهرس 2i + 1
  4. Dفي الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  2. Bإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
  3. Cإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
  4. Dمبادلتها مع الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
20131614915519ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

2-SAT تنتمي إلى P (زمن خطي عبر المكونات قوية الاتصال)، بينما 3-SAT هي NP-تامة.

الإجابة

C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋

لماذا هذه هي الإجابة

ابنا i في 2i + 1 و2i + 2، فيكون أبو i في ⌊(i − 1) / 2⌋، ومع الفهرسة من 1 يكون ⌊i / 2⌋.

الإجابة

D · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

A · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

D, E, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 61

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

EF (5): خذ
DE (9): خذ
BC (13): خذ
CE (14): خذ
DF (15): تخطَّ، تُغلق دورة
BD (16): تخطَّ، تُغلق دورة
BE (19): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (20): خذ

الوزن الكلي

W = 5 + 9 + 13 + 14 + 20 = 61

الإجابة

W = 61

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms