هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

باستخدام المبرهنة الرئيسية (master theorem)، حل T(n) = 8T(n/2) + O(n²) هو:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  2. Bانظر إلى الجذر فقط
  3. Cاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  4. Dزُر كل ورقة وقارن بينها
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا لا يمكن ببساطة حذف العناصر من مرشح Bloom قياسي بمسح بتاتها؟

  1. Aلأن بتات مرشح Bloom لا يمكن تغييرها بعد إنشائه
  2. Bلأن الحذف سيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة إلى 100%
  3. Cلأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
  4. Dلأن مرشحات Bloom تخزّن العناصر كاملة، ولا يمكن إيجادها ثانية بعد تجزئتها
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1951814981210ABCDEF

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس C. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ck = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

A · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

log₂ 8 = 3، و n² تنمو أبطأ من n³، لذا تهيمن الأوراق: Θ(n³).

الإجابة

A · Θ(n³)
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

A · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

مسح بت مشترك سيجعل عنصرًا آخر يبدو غائبًا، ومرشحات Bloom العدّادة تحفظ عدّادات بدل البتات لتسمح بالحذف.

الإجابة

C · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 24

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24

الإجابة

L = 24

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. BC (5)
2. BE (10)
3. DE (9)
4. DF (8)
5. AB (19)

رقم الحافة 4

DF

الإجابة

الحافة DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms