هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
  2. Bأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
  3. Cترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
  4. Dالشجرة الممتدة الصغرى
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
  2. Bالنوعان كلاهما
  3. Cلا هذا ولا ذاك
  4. Dحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم ذاكرة تستخدم قائمة التجاور لمخطط فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.هياكل البياناتصعبة

أُدرجت المفاتيح 5، 3، 8، 1 بهذا الترتيب في كومة ثنائية صغرى فارغة قائمة على مصفوفة. ما المصفوفة النهائية؟

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
39614612124ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(E) أقصر مسار من A إلى E في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: E
d(E) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(V + E)

لماذا هذه هي الإجابة

لكل رأس قائمة، وتظهر كل حافة مرة (موجّه) أو مرتين (غير موجّه)، فيكون المجموع O(V + E).

الإجابة

C · O(V + E)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · [1, 3, 8, 5]

لماذا هذه هي الإجابة

بعد 5 و3 و8 تكون المصفوفة [3, 5, 8]، ويذهب 1 إلى الفهرس 3، فيُبدَّل مع أبيه 5 ثم مع 3، فتصبح [1, 3, 8, 5].

الإجابة

C · [1, 3, 8, 5]
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(E) = 16

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 3
C (3): B: 12, E: 17
B (12): D: 18, E: 16
E (16): F: 28
D (18)
F (28)

أقصر مسار

A → C → B → E
d(E) = 16

الإجابة

d(E) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms