هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

هل 22n تنتمي إلى O(2ⁿ)؟

  1. Aنعم، لأن كلتيهما أسيتان
  2. Bنعم، لأن المعاملات الثابتة في الأس تُهمَل دائمًا في O الكبير
  3. Cلا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
  4. Dلا، لأن 22n تنمو أبطأ من 2ⁿ
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
  2. Bلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
  3. Cلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
  4. Dلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aكل الأوراق على العمق نفسه
  2. Bالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
  3. Cتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  4. Dلكل عقدة ابنان بالضبط
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 19 رؤوس و23 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 19|E| = 23
k =
6.نظرية البياناتصعبة
139151165210320ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

B · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد

لماذا هذه هي الإجابة

الثابت المضاف إلى الأس يعطي معاملًا ثابتًا، أما الثابت الذي يضرب الأس فيغيّر الأساس ومعدل النمو.

الإجابة

C · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

A · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

19 − 1 = 18

الحواف المراد حذفها

k = 23 − 18 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 42

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

EF (2): خذ
GD (3): خذ
DF (5): خذ
DE (6): تخطَّ، تُغلق دورة
BC (9): خذ
GC (10): خذ
CE (11): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (13): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 3 + 5 + 9 + 10 + 13 = 42

الإجابة

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms