هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي من مسائل الإرضاء هذه معروف أنه قابل للحل في زمن كثير حدود؟

  1. A3-SAT، حيث يحتوي كل بند على ثلاثة حرفيّات بالضبط
  2. B2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
  3. CSAT العامة على صيغ في الصيغة العادية العطفية
  4. Dإرضاء الدارات
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  2. Bيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
  3. Cيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  4. Dيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
4.هياكل البياناتصعبة

أي عبارة عن الفرز بالكومة (heapsort) صحيحة؟

  1. Aيفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
  2. Bمستقر ويحتاج إلى ذاكرة إضافية O(n)
  3. Cيحتاج إلى شجرة بحث ثنائية بوصفها تخزينًا إضافيًا، فيستخدم O(n) ذاكرة إضافية
  4. Dيعمل في زمن O(n) على أي مدخل
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من C إلى B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

C · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

2-SAT تنتمي إلى P (زمن خطي عبر المكونات قوية الاتصال)، بينما 3-SAT هي NP-تامة.

الإجابة

B · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

B · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر

لماذا هذه هي الإجابة

يبني الفرز بالكومة كومة عظمى ويستخرج الأكبر n مرة داخل المصفوفة نفسها، والتبديلات عبر مسافات طويلة قد تغير ترتيب المفاتيح المتساوية.

الإجابة

A · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 26 = 2(L + 8) − 2
L = 12

الإجابة

L = 12

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CB = 1·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms