هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تقنية تعطي زمن تشغيل متوقعًا O(n log n) للفرز السريع على أي مدخلات؟

  1. Aاختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
  2. Bاختيار العنصر الأول دائمًا
  3. Cاستخدام العودية على الجانب الأيسر فقط
  4. Dفرز المدخلات قبل تشغيل الفرز السريع
3.هياكل البياناتمتوسطة

طابور منفّذ بمكدسين: push إلى مكدس "in"، وpop من مكدس "out" مع إعادة ملئه من "in" حين يفرغ. ما الكلفة المستهلَكة لكل عملية؟

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا لا يمكن ببساطة حذف العناصر من مرشح Bloom قياسي بمسح بتاتها؟

  1. Aلأن مرشحات Bloom تخزّن العناصر كاملة، ولا يمكن إيجادها ثانية بعد تجزئتها
  2. Bلأن الحذف سيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة إلى 100%
  3. Cلأن بتات مرشح Bloom لا يمكن تغييرها بعد إنشائه
  4. Dلأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 16 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 16|E| = 17
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من B إلى E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

A · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم

لماذا هذه هي الإجابة

مع محور عشوائي يكون زمن التشغيل المتوقع O(n log n) لكل المدخلات؛ وما زالت الحالات السيئة موجودة لكنها مستبعدة جدًا.

الإجابة

A · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يُدفع كل عنصر ويُسحب مرتين على الأكثر إجمالًا، فرغم أن إعادة ملء واحدة قد تستغرق O(n)، يكون المتوسط على سلسلة العمليات O(1).

الإجابة

B · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

مسح بت مشترك سيجعل عنصرًا آخر يبدو غائبًا، ومرشحات Bloom العدّادة تحفظ عدّادات بدل البتات لتسمح بالحذف.

الإجابة

D · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 2

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

16 − 1 = 15

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 15 = 2

الإجابة

k = 2
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 0 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)BE = 1·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms