هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

  1. Aمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
  2. Bمصفوفة مرتبة مسبقًا
  3. Cمصفوفة بترتيب عشوائي
  4. Dمصفوفة طولها 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
  2. Bتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
  3. Cتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
  4. Dبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
  2. Bلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
  3. Cتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  4. Dتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
4.هياكل البياناتصعبة

ما بنية البيانات التي تدعم ذاكرة تخزين مؤقت LRU (least recently used) بعمليتي get وput في O(1)؟

  1. Aمصفوفة مرتبة واحدة
  2. Bمكدس فقط
  3. Cخريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
  4. Dشجرة بحث ثنائية فقط
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 34 × deg 42 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1169111421013ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مصفوفة مرتبة مسبقًا

لماذا هذه هي الإجابة

في المدخلات المرتبة يكون المحور دائمًا الأصغر، فيكون أحد الجانبين فارغًا والآخر فيه n − 1 عنصر، فيكون التعقيد O(n²).

الإجابة

B · مصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

D · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة

لماذا هذه هي الإجابة

تجد خريطة التجزئة العقد في O(1)، وتنقل القائمة المترابطة المزدوجة العناصر المستخدمة إلى المقدمة وتزيل من النهاية في O(1).

الإجابة

C · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 14

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 32 = 2(L + 10) − 2
L = 14

الإجابة

L = 14

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: B

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 11, C: 6
2. C (6): E: 20
3. B (11): D: 22
4. E (20)
5. D (22): F: 32
6. F (32)

الجولة 3

B

الإجابة

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms