هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا يُحذف أساس اللوغاريتم عادةً في O الكبير، كما في O(log n)؟

  1. Aلأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
  2. Bلأن الأساس لا يهم إلا عندما تكون n صغيرة
  3. Cكل اللوغاريتمات في علوم الحاسوب أساسها 10، فهو مفهوم ضمنًا
  4. Dلأن اللوغاريتمات تُقرَّب دائمًا إلى أعداد صحيحة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي من مسائل الإرضاء هذه معروف أنه قابل للحل في زمن كثير حدود؟

  1. A3-SAT، حيث يحتوي كل بند على ثلاثة حرفيّات بالضبط
  2. BSAT العامة على صيغ في الصيغة العادية العطفية
  3. C2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
  4. Dإرضاء الدارات
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق التحقق من وجود الحافة (u, v) باستخدام مصفوفة التجاور؟

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  2. Bلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
  3. Cلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  4. Dلإبقاء المصفوفة مرتبة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
6141114661381ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت

لماذا هذه هي الإجابة

تغيير الأساس يضرب اللوغاريتم في ثابت، وO الكبير يتجاهل المعاملات الثابتة.

الإجابة

A · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

2-SAT تنتمي إلى P (زمن خطي عبر المكونات قوية الاتصال)، بينما 3-SAT هي NP-تامة.

الإجابة

C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يخبرك مدخل المصفوفة في الصف u والعمود v فورًا بوجود الحافة، أما قائمة التجاور فقد تحتاج إلى مسح جيران u.

الإجابة

A · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

C · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 15

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 6, C: 14
B (6): D: 20, E: 7
E (7): C: 13, D: 13, F: 15
C (13)
D (13)
F (15)

أقصر مسار

A → B → E → F
d(F) = 15

الإجابة

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms