هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تحل خوارزمية البرمجة الديناميكية Held–Karp مسألة البائع المتجول بدقة. ما زمن تنفيذها لـ n مدينة؟

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n!)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n³)
3.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

  1. Aألا يكون لأي عقدة ابنان
  2. Bتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
  3. Cبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
  4. Dارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البياناتصعبة

شجرة Fenwick (الشجرة المفهرسة ثنائيًا) على مصفوفة من n عددًا تدعم أي عمليات في O(log n)؟

  1. Aفرز المصفوفة والبحث الثنائي
  2. Bإدراج العناصر في أي موضع
  3. Cاستعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
  4. Dإيجاد الوسيط في O(1)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
3231102875ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

C · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n² 2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك نحو n 2ⁿ حالة تُحسب كل منها في O(n)، وهذا أسّي لكنه أسرع بكثير من تجربة كل الجولات الـ (n − 1)!.

الإجابة

A · O(n² 2ⁿ)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

لماذا هذه هي الإجابة

تحافظ الأشجار ذاتية التوازن على ارتفاع لوغاريتمي، لذا تكون عمليات البحث والإدراج والحذف O(log n) في أسوأ الحالات.

الإجابة

D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة Fenwick مجاميع جزئية على مدى تحدده البتات الدنيا لكل فهرس، فيستغرق كل من مجموع البادئة والتحديث النقطي O(log n).

الإجابة

C · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 1

الرؤوس الفردية

D, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 13

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3, C: 2
C (2): E: 3, G: 7
B (3)
E (3): D: 13, F: 11
G (7)
F (11)
D (13)

أقصر مسار

A → C → E → D
d(D) = 13

الإجابة

d(D) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms