هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا يُحذف أساس اللوغاريتم عادةً في O الكبير، كما في O(log n)؟

  1. Aلأن الأساس لا يهم إلا عندما تكون n صغيرة
  2. Bلأن اللوغاريتمات تُقرَّب دائمًا إلى أعداد صحيحة
  3. Cلأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
  4. Dكل اللوغاريتمات في علوم الحاسوب أساسها 10، فهو مفهوم ضمنًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا قد تعطي خوارزمية Dijkstra نتائج خاطئة حين تكون بعض أوزان الحواف سالبة؟

  1. Aلأنها تدخل في حلقة لا نهائية عند كل حافة سالبة
  2. Bلأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
  3. Cلأن الأعداد السالبة لا يمكن تخزينها في طابور أولويات
  4. Dلأنها لا تعمل إلا على الرسوم البيانية غير الموجهة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما التعقيد الزمني للبحث عن مفتاح في شجرة بحث ثنائية متوازنة؟

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  2. Bلكل عقدة ابنان بالضبط
  3. Cالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
  4. Dكل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 13 رؤوس و20 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 13|E| = 20
k =
6.نظرية البياناتصعبة
151513101011513ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت

لماذا هذه هي الإجابة

تغيير الأساس يضرب اللوغاريتم في ثابت، وO الكبير يتجاهل المعاملات الثابتة.

الإجابة

C · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر

لماذا هذه هي الإجابة

تعتمد الخطوة الجشعة على أوزان غير سالبة لكي تكون المسافات المستخرجة نهائية، وتُستخدم Bellman–Ford حين قد تكون الأوزان سالبة.

الإجابة

B · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

ارتفاع الشجرة المتوازنة نحو log₂ n، لذا يتبع البحث مسارًا واحدًا من الجذر إلى ورقة.

الإجابة

D · O(log n)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

D · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

13 − 1 = 12

الحواف المراد حذفها

k = 20 − 12 = 8

الإجابة

k = 8
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 19

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 15, C: 15
B (15): D: 25, E: 18
C (15)
E (18): D: 19, F: 19
D (19)
F (19)

أقصر مسار

A → B → E → F
d(F) = 19

الإجابة

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms