هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما زمن تنفيذ الفرز الجذري LSD على n عددًا صحيحًا من d خانة في الأساس k؟

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(d(n + k))
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
  2. Bالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  3. Cالرسوم البيانية غير الموجهة
  4. Dالرسوم البيانية التامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالتجزئة المزدوجة
  2. Bالسبر التربيعي
  3. Cالتسلسل المنفصل (separate chaining)
  4. Dالسبر الخطي
4.هياكل البياناتصعبة

كم يستغرق البحث عن مفتاح اعتباطي في كومة ثنائية صغرى فيها n عنصر؟

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
897251121385ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(d(n + k))

لماذا هذه هي الإجابة

كل مرور من المرورات d فرز بالعدّ كلفته O(n + k)، فيكون المجموع خطيًا في n عندما تكون d وk ثابتتين.

الإجابة

D · O(d(n + k))
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

B · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

C · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تعطي الكومة قاعدة لأي شجرة فرعية تحتوي المفتاح، ففي أسوأ الحالات يجب فحص كل العقد، والأصغر وحده سريع الإيجاد.

الإجابة

D · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 17

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 8, C: 9
B (8): G: 9
C (9): E: 11
G (9): D: 17
E (11): D: 16, F: 23
D (16): F: 17
F (17)

أقصر مسار

A → C → E → D → F
d(F) = 17

الإجابة

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms