هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة صحيحة عن اختيار العنصر الأصغر رقم k في مصفوفة غير مرتبة؟

  1. Aيعمل Quickselect في O(log n) في أسوأ الحالات لأنه يعود على جانب واحد فقط من المحور
  2. Bيعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
  3. Cالاختيار ممكن فقط في O(n²)
  4. Dيحتاج الاختيار دائمًا إلى Ω(n log n) لأنه يتطلب الفرز
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز القبلي؟

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D1 2 3 4 5
4.هياكل البياناتصعبة

أي بنية تتيح حساب الأكبر في كل نافذة حجمها k في مصفوفة بزمن كلي O(n)؟

  1. Aمصفوفة مرتبة تُحدَّث بالإزاحة
  2. Bقائمة مترابطة أحادية لعناصر النافذة
  3. Cdeque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
  4. Dكومة صغرى يُعاد بناؤها لكل نافذة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من C إلى E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

C · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

العمل المتوقع لـ Quickselect هو n + n/2 + n/4 + ... = O(n) مع محاور عشوائية، واختيار المحور وسيطًا للوسائط يجعل أسوأ الحالات خطيًا.

الإجابة

B · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 1 2 4 5 3

لماذا هذه هي الإجابة

يزور الاجتياز القبلي 1، ثم شجرته الفرعية اليسرى (2، 4، 5)، ثم 3، والخيارات الأخرى هي الاجتياز الوسطي والبعدي ومستوى بعد مستوى.

الإجابة

C · 1 2 4 5 3
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة

لماذا هذه هي الإجابة

مقدمة الـ deque هي دائمًا أكبر عناصر النافذة، وكل فهرس يدخل الـ deque ويغادره مرة واحدة، فيكون العمل خطيًا.

الإجابة

C · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 17

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 39 = 2(L + 12) − 2
L = 17

الإجابة

L = 17

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms