هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يعني أن لمسألة بنية فرعية مثلى؟

  1. Aأن للمسألة حلًا أمثل واحدًا بالضبط تشترك فيه كل مسألة فرعية
  2. Bأن لكل المسائل الفرعية الحجم نفسه
  3. Cأنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
  4. Dأنه يمكن حل المسألة في زمن ثابت
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  2. Bأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
  3. Cأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
  4. Dأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
  2. Bيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  3. Cيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  4. Dيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  2. Bفي فرز الحواف بحسب الوزن
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K4؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K4
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية

لماذا هذه هي الإجابة

البنية الفرعية المثلى شرط لكي تعطي الخوارزميات الجشعة والبرمجة الديناميكية إجابات صحيحة.

الإجابة

C · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

B · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

A · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

الإجابة

H = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms