هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة صحيحة عن اختيار العنصر الأصغر رقم k في مصفوفة غير مرتبة؟

  1. Aيحتاج الاختيار دائمًا إلى Ω(n log n) لأنه يتطلب الفرز
  2. Bيعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
  3. Cيعمل Quickselect في O(log n) في أسوأ الحالات لأنه يعود على جانب واحد فقط من المحور
  4. Dالاختيار ممكن فقط في O(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز البعدي؟

  1. A5 4 3 2 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تُستخدم أشجار B في قواعد البيانات وأنظمة الملفات؟

  1. Aمعامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
  2. Bلا تحتاج إلى إعادة توازن
  3. Cتخزّن البيانات غير مرتبة
  4. Dتستخدم ذاكرة أقل من أي مصفوفة، فيتسع الفهرس كله دائمًا في الذاكرة الرئيسية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
84215713127ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(E) أقصر مسار من A إلى E في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: E
d(E) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

العمل المتوقع لـ Quickselect هو n + n/2 + n/4 + ... = O(n) مع محاور عشوائية، واختيار المحور وسيطًا للوسائط يجعل أسوأ الحالات خطيًا.

الإجابة

B · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 4 5 2 3 1

لماذا هذه هي الإجابة

يعالج الاجتياز البعدي 4 و5 قبل 2، ثم 3، وأخيرًا الجذر 1.

الإجابة

C · 4 5 2 3 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن أشجار B مفاتيح كثيرة في كل عقدة، فيكون الارتفاع صغيرًا ويلزم عدد قليل من قراءات الكتل لكل بحث؛ كما تربط أشجار B+ الأوراق لعمليات مسح النطاقات.

الإجابة

A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

C, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(E) = 15

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 8
B (8): C: 12, D: 10, E: 15
D (10): F: 23
C (12)
E (15)
F (23)

أقصر مسار

A → B → E
d(E) = 15

الإجابة

d(E) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms