هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aالشجرة الممتدة الصغرى
  2. Bترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
  3. Cأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
  4. Dأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
  2. Bتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
  3. Cبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
  4. Dتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  2. Bلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
  3. Cلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
  4. Dلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aللأعداد فقط
  2. Bمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
  3. Cمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  4. Dبإجابات دقيقة دائمًا
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 12 رؤوس و13 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 12|E| = 13
k =
6.نظرية البياناتصعبة
8161512131041811ABCDEFG

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DF
  6. 6الحافة EF
  7. 7الحافة GC
  8. 8الحافة GD
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

D · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

C · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

D · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

B · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 2

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

12 − 1 = 11

الحواف المراد حذفها

k = 13 − 11 = 2

الإجابة

k = 2
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة EF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. GC (4)
2. AB (8)
3. EF (10)
4. GE (11)
5. DF (13)
6. BD (15)

رقم الحافة 3

EF

الإجابة

الحافة EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms