هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة المستهلَكة لزيادة عدّاد ثنائي بمقدار واحد، علمًا بأن زيادة واحدة قد تقلب بتات كثيرة؟

  1. AO(log n) لكل زيادة
  2. BO(n log n) لكل زيادة
  3. CO(n) لكل زيادة
  4. DO(1) لكل زيادة
3.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

  1. Aألا يكون لأي عقدة ابنان
  2. Bبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
  3. Cتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
  4. Dارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البياناتصعبة

يجب أن تحتفظ بأصغر k قيمة من تدفق من n عددًا باستخدام ذاكرة O(k). أي طريقة تعمل في زمن O(n log k)؟

  1. Aمصفوفة مرتبة لكل القيم n
  2. Bكومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
  3. Cكومة صغرى تحمل القيم n كلها، تُستخرج منها أصغر k قيمة في النهاية
  4. Dطابور FIFO لآخر k قيمة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 12 رؤوس و20 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 12|E| = 20
k =
6.نظرية البياناتصعبة
20171611218101113151419ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 12
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(1) لكل زيادة

لماذا هذه هي الإجابة

على مدى n زيادة ينقلب البت i نحو n / 2ⁱ مرة، فيكون المجموع أقل من 2n قلبًا، أي متوسط O(1) لكل زيادة.

الإجابة

D · O(1) لكل زيادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

لماذا هذه هي الإجابة

تحافظ الأشجار ذاتية التوازن على ارتفاع لوغاريتمي، لذا تكون عمليات البحث والإدراج والحذف O(log n) في أسوأ الحالات.

الإجابة

D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر

لماذا هذه هي الإجابة

جذر الكومة العظمى هو أكبر قيمة محفوظة، وأي قيمة جديدة أصغر تحل محله في O(log k)، فتحفظ الكومة دائمًا أصغر k قيمة حتى الآن.

الإجابة

B · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 9

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

12 − 1 = 11

الحواف المراد حذفها

k = 20 − 11 = 9

الإجابة

k = 9
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 64

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BD (1): خذ
DF (10): خذ
EF (11): خذ
CE (12): خذ
GB (13): خذ
GD (14): تخطَّ، تُغلق دورة
GC (15): تخطَّ، تُغلق دورة
BC (16): تخطَّ، تُغلق دورة
AC (17): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 10 + 11 + 12 + 13 + 17 = 64

الإجابة

W = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms