هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي عبارة صحيحة عن دالة عودية ليس لها حالة أساس قابلة للبلوغ؟

  1. Aتُرجع 0 تلقائيًا
  2. Bتعمل في زمن O(1)
  3. Cتواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
  4. Dيحولها المترجم دائمًا إلى حلقة تنتهي بأمان
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تحل خوارزمية البرمجة الديناميكية Held–Karp مسألة البائع المتجول بدقة. ما زمن تنفيذها لـ n مدينة؟

  1. AO(n³)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n!)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الغرض من العقدة الحارسة (sentinel أو dummy) في قائمة مترابطة؟

  1. Aمنع القائمة من النمو إلى ما يتجاوز حدًّا أقصى ثابتًا من العقد
  2. Bجعل القائمة مرتبة
  3. Cتخزين عدد العناصر
  4. Dتبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
  2. Bفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي فرز الحواف بحسب الوزن
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من A إلى C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات

لماذا هذه هي الإجابة

بدون حالة أساس لا تتوقف العودية أبدًا، وعمليًا تنفد ذاكرة إطارات المكدّس ويتعطل البرنامج.

الإجابة

C · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n² 2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك نحو n 2ⁿ حالة تُحسب كل منها في O(n)، وهذا أسّي لكنه أسرع بكثير من تجربة كل الجولات الـ (n − 1)!.

الإجابة

B · O(n² 2ⁿ)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل

لماذا هذه هي الإجابة

مع العقدة الحارسة يكون لكل عقدة حقيقية سابقة، فلا يحتاج الإدراج أو الحذف عند الرأس إلى معالجة خاصة.

الإجابة

D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 21

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

الإجابة

L = 21

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

الجيران المشتركون

(M²)AC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms