هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا تنتقل روتينات فرز كثيرة في المكتبات إلى الفرز بالإدراج للمصفوفات الفرعية الصغيرة جدًا؟

  1. Aلأن الفرز بالإدراج يستهلك ذاكرة أقل من أي خوارزمية فرز أخرى على المدخلات الكبيرة
  2. Bلأن الفرز بالإدراج O(n log n) في أسوأ الحالات
  3. Cلأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
  4. Dلأن الخوارزميات العودية لا تتعامل مع مصفوفات أقل من 10 عناصر
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
  2. Bالنوعان كلاهما
  3. Cلا هذا ولا ذاك
  4. Dالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز القبلي؟

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تُستخدم أشجار B في قواعد البيانات وأنظمة الملفات؟

  1. Aمعامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
  2. Bتخزّن البيانات غير مرتبة
  3. Cتستخدم ذاكرة أقل من أي مصفوفة، فيتسع الفهرس كله دائمًا في الذاكرة الرئيسية
  4. Dلا تحتاج إلى إعادة توازن
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
159207141711218ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس A. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ak = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة GC
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تكون n صغيرة تتفوق حلقة الفرز بالإدراج البسيطة على كلفة العودية في الفرز السريع أو الفرز بالدمج، رغم أنه O(n²).

الإجابة

C · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

D · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 1 2 4 5 3

لماذا هذه هي الإجابة

يزور الاجتياز القبلي 1، ثم شجرته الفرعية اليسرى (2، 4، 5)، ثم 3، والخيارات الأخرى هي الاجتياز الوسطي والبعدي ومستوى بعد مستوى.

الإجابة

C · 1 2 4 5 3
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن أشجار B مفاتيح كثيرة في كل عقدة، فيكون الارتفاع صغيرًا ويلزم عدد قليل من قراءات الكتل لكل بحث؛ كما تربط أشجار B+ الأوراق لعمليات مسح النطاقات.

الإجابة

A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة EF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AB (15)
2. BC (9)
3. CE (7)
4. EF (1)
5. GC (12)
6. DE (14)

رقم الحافة 4

EF

الإجابة

الحافة EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms