هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
  2. Bلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
  3. Cلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  4. Dلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة P صحيح؟

  1. Aالمسائل التي تحتاج إلى زمن أسّي على كل حاسوب
  2. Bالمسائل التي يمكن حلها على التوازي
  3. Cمسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
  4. Dالمسائل التي يمكن التحقق من حلولها لكن لا يمكن إيجادها أبدًا في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما بنية البيانات التي يستخدمها البحث بالعمق أولًا (DFS، النسخة التكرارية)؟

  1. Aمكدس
  2. Bجدول تجزئة فقط
  3. Cطابور
  4. Dكومة
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aمبادلتها مع الجذر
  2. Bاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  3. Cإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
  4. Dإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
1214313208515ABCDEF

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس A. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 5.

البداية: Ak = 5
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة DF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

تحتوي P مسائل القرار التي لها خوارزمية حتمية في زمن كثير حدود، مثل التحقق من اتصال رسم بياني.

الإجابة

C · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · مكدس

لماذا هذه هي الإجابة

يتعمّق DFS قدر الإمكان، مستخدمًا بشكل طبيعي مكدسًا (أو مكدس استدعاءات العودية)، بينما يستخدم BFS طابورًا.

الإجابة

A · مكدس
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, D, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AB (12)
2. BC (3)
3. BD (13)
4. DF (5)
5. DE (8)

رقم الحافة 5

DE

الإجابة

الحافة DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms