هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتستخدم العودية فقط
  2. Bتجرّب كل حل ممكن
  3. Cتعطي الحل الأمثل دائمًا
  4. Dتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يمكن إيجاد أقصر المسارات البسيطة في زمن كثير حدود. ما المعروف عن إيجاد أطول مسار بسيط بين رأسين في رسم بياني عام؟

  1. Aأنه NP-صعب
  2. Bأنه غير قابل للحسم
  3. Cأنه قابل للحل دائمًا في O(V + E)
  4. Dأنه يمكن حله بخوارزمية Dijkstra مع أوزان معكوسة الإشارة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما بنية البيانات التي يستخدمها البحث بالعمق أولًا (DFS، النسخة التكرارية)؟

  1. Aكومة
  2. Bطابور
  3. Cمكدس
  4. Dجدول تجزئة فقط
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
  2. Bلجعل جدول التجزئة مرتبًا
  3. Cلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  4. Dلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 14 رؤوس و20 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 14|E| = 20
k =
6.نظرية البياناتصعبة
61221941835201014ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس B. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Bk = 2
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة GB
  9. 9الحافة GC
  10. 10الحافة GD
  11. 11الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أنه NP-صعب

لماذا هذه هي الإجابة

المسار البسيط الأطول بطول V − 1 هو مسار هاميلتوني، وهي مسألة NP-تامة، لكنه قابل للحل في زمن خطي على الرسوم البيانية الموجهة عديمة الدورات.

الإجابة

A · أنه NP-صعب
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · مكدس

لماذا هذه هي الإجابة

يتعمّق DFS قدر الإمكان، مستخدمًا بشكل طبيعي مكدسًا (أو مكدس استدعاءات العودية)، بينما يستخدم BFS طابورًا.

الإجابة

C · مكدس
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

D · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 7

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

14 − 1 = 13

الحواف المراد حذفها

k = 20 − 13 = 7

الإجابة

k = 7
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة CE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. BC (2)
2. CE (4)
3. EF (3)
4. GB (5)
5. AB (6)
6. GD (10)

رقم الحافة 2

CE

الإجابة

الحافة CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms