المعادلات التفاضلية
- النمو/الاضمحلال الأسّي
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- عمر النصف
- k = ln 2 / t½
- قانون نيوتن للتبريد
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- عامل التكامل
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- خزان الخلط
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التكاملات
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
الطريقة
- أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
- طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
- استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
- للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
المشتقات
- قاعدة القوة
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- قاعدة الضرب
- (uv)′ = u′v + uv′
- قاعدة القسمة
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- قاعدة السلسلة
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- مشتقات شائعة
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
الطريقة
- حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
- طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
- استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
- بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
الطرائق العددية
- التنصيف
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- نيوتن–رافسون
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- الاستيفاء الخطي
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- قاعدة شبه المنحرف
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- قاعدة سيمبسون (n زوجي)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- حد خطأ شبه المنحرف
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- أويلر
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- هوين
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
الطريقة
- لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
- لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
- لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
- لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
2مسائل تدريبية
1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(1) =
2.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3.التكاملاتمتوسطة
احسب I = ∫₀1 x·sin x dx (قيمة x بالراديان).
∫₀1 x·sin x dx
I =
4.التكاملاتصعبة
احسب I = ∫₀1 x²·eˣ dx.
∫₀1 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
لتكن f(x) = (2x + 5)3. أوجد f′(−1).
f(x) = (2x + 5)3x = −1
f′(−1) =
6.المشتقاتصعبة
لتكن f(x) = x3 − 7,5x2 + 12x + 1. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.
f(x) = x3 − 7,5x2 + 12x + 1
x =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
قرّب ∫02 1/√(1 + x⁴) dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 4 شريحة. أعطِ S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
8.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,1 للمسألة y′ = 1 + sin(ty)، y(0) = 0 لتقدير y2 ≈ y(0,2).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1
y2 =
3المحاليل
1.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(1) = 0,2514
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.
الجذور المميِّزة
(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4
الثابتان من القيم الابتدائية
A + B = 1, −1A − 4B = -2
A = 0,6667, B = 0,3333
احسب
y(1) = 0,6667·e−1 + 0,3333·e−4 = 0,2514
الإجابة
y(1) = 0,2514
2.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(0.75) = 1,322
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.
القيمة المستقرة والجذور
yss = 1, r = −1,5 ± 5j
الثابتان من القيم الابتدائية
y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −0,3
احسب
y(0,75) = 1·(1 − e−1,125(cos 3,75 + 0,3·sin 3,75)) = 1,322
الإجابة
y(0,75) = 1,322
3.التكاملات
الإجابة: I = 0,3012
التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.
اختر u وdv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
الدالة الأصلية
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
النهايات
(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012
الإجابة
I = 0,3012
4.التكاملات
الإجابة: I = 0,7183
التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.
الجولة الأولى
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
الجولة الثانية
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
النهايات
2,718·(1) − 1·2 = 0,7183
الإجابة
I = 0,7183
5.المشتقات
الإجابة: f′(−1) = 54
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
قاعدة السلسلة
f′(x) = 3·(2x + 5)2·2
عوّض
f′(−1) = 3·32·2 = 54
الإجابة
f′(−1) = 54
6.المشتقات
الإجابة: x = 1
الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.
المشتقة
f′(x) = 3x2 − 15x + 12 = 3·(x2 − 5x + 4)
حُلّ f′(x) = 0
x = 1 أو x = 4
أيهما أي
f″(x) = 6x − 15: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.
f″(1) = −9, f″(4) = 9
x = 1
الإجابة
x = 1
7.الطرائق العددية
الإجابة: S = 1,36
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
العقد والقيم
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,970143 + 2·0,707107 + 4·0,406138 + 0,242536 = 8,161873
قاعدة سيمبسون
S = (0,5/3)·8,161873 = 1,36
الإجابة
S = 1,36
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
8.الطرائق العددية
الإجابة: y2 = 0,203
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات هوين
y₁ = 0 + (0,1/2)(1 + 1,01) = 0,1005
y₂ = 0,1005 + (0,1/2)(1,01005 + 1,04029) = 0,203017
الرسم البياني
y2 = 0,203
الإجابة
y2 = 0,203
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations