المعادلات التفاضلية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

الطرائق العددية

التنصيف
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

  1. لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
  2. لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
  3. لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
  4. لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

2مسائل تدريبية

1.المعادلات التفاضليةمتوسطة
t (min)T (°C)45Ta​227 °C

قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 45 min تكون درجة حرارتها 227 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T0 = 340 °CTa = 27 °CT(45) = 227 °C
k = min⁻¹
2.المعادلات التفاضليةصعبة
t (min)m (kg)t = ?40 kg

خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 40 kg من الملح؟

V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3.التكاملاتمتوسطة
xy2y = 3x

تُدوَّر المنطقة تحت y = 3x من x = 0 إلى x = 2 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 3x0 ≤ x ≤ 2
V =
4.التكاملاتصعبة
xy2y = x²eˣ

احسب I = ∫₀2 x²·eˣ dx.

∫₀2 x²eˣ dx
I =
5.المشتقاتمتوسطة
xyx = 1

لتكن f(x) = ln(3x2 + 2). أوجد f′(1).

f(x) = ln(3x2 + 2)x = 1
f′(1) =
6.المشتقاتصعبة
xyx = −1

المماس لـ f(x) = 2x2 − 3x − 4 عند x = −1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 2x2 − 3x − 4x = −1
b =
7.الطرائق العدديةمتوسطة
xy12,54

قرّب ∫14 1/x dx بقاعدة سيمبسون، n = 2، وقارنه بالقيمة الدقيقة. جد الخطأ المطلق |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
8.الطرائق العدديةصعبة
00,20,4−1,5−1ty(0, −1)

حلّ y′ = y − t²، y(0) = −1 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,1 حتى t = 0,5. الحل الدقيق هو y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. جد الخطأ الكلي |E| = |y(0,5) − y5|.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,1
|E| =

3المحاليل

1.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,009953 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e−45k = 200/313

حلّ لإيجاد k

k = ln(313/200)/45 = 0,009953 min⁻¹

الإجابة

k = 0,009953 min⁻¹
2.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 12,77 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

النتيجة

m(t) = 100 + (−100)·e−t/25

حلّ لإيجاد t

e−t/25 = (100 − 40)/(100 − 0) = 0,6
t = 25·ln(1,667) = 12,77 min

الإجابة

t = 12,77 min
3.التكاملات

الإجابة: V = 75,4

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀2 9x² dx

كامل

V = π·9·2³/3 = 75,4

الإجابة

V = 75,4

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 6 وارتفاعه 2 الحجم (1/3)πr²h = 75,4.

4.التكاملات

الإجابة: I = 12,78

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

الإجابة

I = 12,78
5.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 1,2

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 6x/(3x2 + 2)

عوّض

f′(1) = 6/5 = 1,2

الإجابة

f′(1) = 1,2
6.المشتقات

الإجابة: b = −6

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

النقطة والميل

f(−1) = 1
f′(x) = 4x − 3 → f′(−1) = −7

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−7)·(−1) = −6

الإجابة

b = −6
7.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,03871

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

القيمة الدقيقة

I = 1,386294

قاعدة سيمبسون

S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425

الخطأ

|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871

الإجابة

|E| = 0,03871

الخطأ النسبي: 2,792%.

8.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,05358

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00−1−1−1,110,1−1,1−1,11−1,21120,2−1,211−1,251−1,336130,3−1,3361−1,4261−1,4787140,4−1,47871−1,63871−1,642581

خطوات أويلر

y5 = −1,642581

القيمة الدقيقة

y(0,5) = −1,696164

الخطأ الكلي

|E| = |−1,696164 + 1,642581| = 0,05358
00,20,4−1,5−1ty

الرسم البياني

الإجابة

|E| = 0,05358

تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations