الرياضيات المتقطعة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المجموعات والعلاقات والدوال

مجموعتان
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
ثلاث مجموعات
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
الفرق والمتممة
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
مجموعة القوى والجداء الديكارتي
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
المجموعات الجزئية ذات الحجم k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
الدوال A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
العلاقات على n عنصرًا
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
التركيب
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

الطريقة

  1. ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
  2. في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
  3. استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
  5. لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2مسائل تدريبية

1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
¬b ∨ ¬a¬b ∧ a¬b ∨ a¬b ∧ ¬a

أي صيغة تكافئ ¬(b ∧ a) منطقيًا؟ انقر عليها.

¬(b ∧ a)
  1. 1¬b ∨ ¬a
  2. 2¬b ∧ a
  3. 3¬b ∨ a
  4. 4¬b ∧ ¬a
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
bcc ∧ ¬b¬c

المقدمات (a ∧ c) → b; a; ¬b معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

(a ∧ c) → ba¬b
  1. 1b
  2. 2c
  3. 3c ∧ ¬b
  4. 4¬c
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
123انعكاسيةمتماثلضد تناظريةمتعدية

العلاقة R على {1, 2, 3} مرسومة كبيان موجَّه (الحلقة تعني (x, x) ∈ R). خاصية واحدة بالضبط من الخصائص الأربع صحيحة. انقر عليها.

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
  1. 1انعكاسية
  2. 2متماثل
  3. 3ضد تناظرية
  4. 4متعدية
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة

كم علاقة انعكاسية توجد على مجموعة ذات 2 عنصرًا؟ سمِّ العدد N.

|X| = 2
N =
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
764121091351513ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 11 بالنسبة إلى 17: العدد x مع 0 < x < 17 و 11·x ≡ 1 (mod 17).

a = 11n = 17
11−1 mod 17 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
159c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (451, 11)d

شفّر الرسالة m = 159 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (451, 11). جد النص المشفّر c.

n = 451e = 11m = 159
c =

3المحاليل

1.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬b ∨ ¬a

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

دي مورغان: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. تتحول ∧ إلى ∨ ويُنفى الجزآن.
¬(b ∧ a) ≡ ¬b ∨ ¬a

تحقق بجدول الصدق

a = 1, b = 1: 0 | 0 0 1 0
a = 1, b = 0: 1 | 1 1 1 0
a = 0, b = 1: 1 | 1 0 0 0
a = 0, b = 0: 1 | 1 0 1 1

الإجابة

¬b ∨ ¬a

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

2.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬c

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

a = 1, b = 0, c = 0: b = 0, c = 0, c ∧ ¬b = 0, ¬c = 1

الخلاصة

¬c (قاعدة الرفع مع وصل)

الإجابة

¬c
3.المجموعات والعلاقات والدوال

الإجابة: انعكاسية

العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.

انعكاسية

تتحقق

متماثل

تفشل: (1, 3) ∈ R, (3, 1) ∉ R

ضد تناظرية

تفشل: (1, 2), (2, 1) ∈ R

متعدية

تفشل: (2, 1), (1, 3) ∈ R, (2, 3) ∉ R

الإجابة

انعكاسية
4.المجموعات والعلاقات والدوال

الإجابة: N = 4

العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.

عُدّ الاختيارات الحرة

N = 22² − 2 = 4

الإجابة

N = 4
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 14

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

الإجابة

L = 14

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: G

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): C: 7
2. C (7): B: 13, E: 19, G: 12
3. G (12): D: 27
4. B (13): D: 17
5. D (17): F: 26
6. E (19)
7. F (26)

الجولة 3

G

الإجابة

G
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 11−1 mod 17 = 14

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·11 (mod 17).

r = 17, t = 0
r = 11, q = 1, t = 1
r = 6, q = 1, t = −1
r = 5, q = 1, t = 2
r = 1, q = 5, t = −3

المعكوس

1 ≡ −3·11 (mod 17)
x = 14
تحقّق: 11·14 = 154 = 9·17 + 1

الإجابة

11−1 mod 17 = 14
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: c = 5

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

التربيع المتكرر

11 = 8 + 2 + 1
1591 ≡ 159 (mod 451)
1592 ≡ 25 (mod 451)
1594 ≡ 174 (mod 451)
1598 ≡ 59 (mod 451)
15911 ≡ 159·25·59 ≡ 5 (mod 451)

النص المشفّر

c = 5

الإجابة

c = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics