ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
تريد إثبات r → ¬p بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.
r → ¬p
1¬p → r
2r ∧ ¬¬p
3¬¬p → ¬r
4¬r → ¬¬p
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
أي عبارة تكافئ ¬∀x ∃y R(x, y) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
يجد استطلاع شمل 60 شخصًا أن 36 يملكون حاسوبًا محمولًا (L)، وأن 26 يملكون جهازًا لوحيًا (T)، وأن 34 يملكون ساعة ذكية (W). يملك 16 الجهازين L وT، ويملك 14 الجهازين L وW، ويملك 11 الجهازين T وW، ويملك 4 الثلاثة جميعًا. كم عددهم ممن هم في اثنتين فقط من المجموعات الثلاث؟ سمِّ العدد n.
|U| = 60
n =
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
الدالتان f وg على {1, 2, 3, 4, 5} معطاتان بجدوليهما. جد (f ∘ f)(5).
هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.
|V| = 7|E| = 11
1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.
البداية: Aالنهاية: F
d(F) =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
حلّ 7x ≡ 10 (mod 16). أعطِ الحل x مع 0 < x < 16.
7x ≡ 10 (mod 16)
x =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
يستخدم مفتاح RSA العددين الأوليين p = 19 و q = 23 والأس العام e = 17. جد الأس الخاص d (0 < d < φ(n)).
p = 19q = 23e = 17
d =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ¬¬p → ¬r
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.
انقل النفي إلى الداخل
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
الإجابة
∃x ∀y ¬R(x, y)
الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: n = 29
المجموعات ومخططات فن: A ∪ B تضم العناصر الموجودة في A أو B (أو كليهما)، وA ∩ B العناصر الموجودة في كليهما، وA − B عناصر A التي ليست في B، والمتممة A′ كل ما في U وليس في A. في مخطط فن كل تعبير مجموعات هو اتحاد مناطق، فعُدّه منطقةً منطقةً. الاشتمال والاستبعاد: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|، و|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
المركز والأزواج
L ∩ T ∩ W: 4
L ∩ T فقط: 16 − 4 = 12
L ∩ W فقط: 14 − 4 = 10
T ∩ W فقط: 11 − 4 = 7
المجموعات المنفردة
L فقط: 36 − 12 − 10 − 4 = 10
T فقط: 26 − 12 − 7 − 4 = 3
W فقط: 34 − 10 − 7 − 4 = 13
الإجابة
12 + 10 + 7 = 29
الإجابة
n = 29
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: (f ∘ f)(5) = 2
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
الدالة الداخلية
f(5) = 2
الدالة الخارجية
f(2) = 2
(f ∘ f)(5) = 2
الإجابة
(f ∘ f)(5) = 2
5.نظرية البيانات
الإجابة: مسار أويلر دون دارة
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.
6.نظرية البيانات
الإجابة: d(F) = 23
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
ديكسترا جولةً جولةً
كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.
A (0): B: 1, C: 12
B (1): D: 7, E: 15
D (7)
C (12)
E (15): F: 23
F (23)
أقصر مسار
A → B → E → F
d(F) = 23
الإجابة
d(F) = 23
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: x = 6
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
معكوس 7
r = 16, t = 0
r = 7, q = 2, t = 1
r = 2, q = 3, t = −2
r = 1, q = 2, t = 7
7−1 ≡ 7 (mod 16)
الحل
x ≡ 7·10 = 70 ≡ 6 (mod 16)
تحقّق: 7·6 = 42 ≡ 10 (mod 16)
الإجابة
x = 6
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: d = 233
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.