ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
أي صيغة تكافئ ¬(q ↔ r) منطقيًا؟ انقر عليها.
¬(q ↔ r)
1¬q ↔ ¬r
2¬q ∨ ¬r
3q ↔ ¬r
4q ∧ ¬r
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل ¬((¬(c → ¬a) → (b → c)) ↔ (¬(b ↔ a) ∧ ¬d)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.
¬((¬(c → ¬a) → (b → c)) ↔ (¬(b ↔ a) ∧ ¬d))
N =
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
R = {(1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 3)} علاقة على {1, 2, 3, 4}. ما أصغر عدد k من الأزواج المرتبة يجب إضافته إلى R لتصبح تناظرية؟
R = {(1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 3)}
k =
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
يُظهر مخطط الأسهم دالة f: A → B مع A = {1, 2, 3} وB = {a, b}. انقر على الوصف الذي يناسب f.
f = {(1, b), (2, a), (3, b)}
1متباينة وغير شاملة
2شاملة وغير متباينة
3تقابلية
4لا هذه ولا تلك
5.نظرية البياناتمتوسطة
لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟
2 × deg 44 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 5؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.
k = 5
1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DF
7الحافة EF
8الحافة GB
9الحافة GC
10الحافة GE
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 26 بالنسبة إلى 43: العدد x مع 0 < x < 43 و 26·x ≡ 1 (mod 43).
a = 26n = 43
26−1 mod 43 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
89 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 1316785 mod 89.
p = 89k = 16785
1316785 mod 89 =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: q ↔ ¬r
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
القانون
¬(a ↔ b) تساوي 1 بالضبط عندما يختلف a و b، وهذا هو a ↔ ¬b.
¬(q ↔ r) ≡ q ↔ ¬r
تحقق بجدول الصدق
q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0
q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 1
q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 0
q = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 0
الإجابة
q ↔ ¬r
الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.
2.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: N = 12
جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.
الأعمدة
¬a; c → ¬a; ¬(c → ¬a); b → c; ¬(c → ¬a) → (b → c); b ↔ a; ¬(b ↔ a); ¬d; ¬(b ↔ a) ∧ ¬d; (¬(c → ¬a) → (b → c)) ↔ (¬(b ↔ a) ∧ ¬d); ¬((¬(c → ¬a) → (b → c)) ↔ (¬(b ↔ a) ∧ ¬d))
قسّم على a
a = 1: 6
a = 0: 6
N = 6 + 6 = 12
الإجابة
N = 12
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: k = 2
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
الأزواج المطلوب إضافتها
{(4, 1), (1, 3)}
عُدّ
k = 2
الإجابة
k = 2
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: شاملة وغير متباينة
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
متباينة؟
f(1) = f(3) = b → غير متباينة
شاملة؟
كل عنصر من B يتلقى سهمًا، إذن الدالة شاملة
الإجابة
شاملة وغير متباينة
الإجابة
شاملة وغير متباينة
5.نظرية البيانات
الإجابة: L = 6
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
مبرهنة المصافحة لشجرة
L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6
الإجابة
L = 6
اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.
6.نظرية البيانات
الإجابة: الحافة CE
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
خوارزمية كروسكال
1. EF (2)
2. AB (6)
3. DF (7)
4. AC (8)
5. CE (10)
6. GC (13)
رقم الحافة 5
CE
الإجابة
الحافة CE
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 26−1 mod 43 = 5
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·26 (mod 43).
r = 43, t = 0
r = 26, q = 1, t = 1
r = 17, q = 1, t = −1
r = 9, q = 1, t = 2
r = 8, q = 1, t = −3
r = 1, q = 8, t = 5
المعكوس
1 ≡ 5·26 (mod 43)
x = 5
تحقّق: 26·5 = 130 = 3·43 + 1
الإجابة
26−1 mod 43 = 5
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 1316785 mod 89 = 30
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.