ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
تريد إثبات (q ∨ p) → r بالتناقض. أي عبارة تفترضها في البداية؟ انقر عليها.
(q ∨ p) → r
1¬(q ∨ p) ∧ ¬r
2¬(q ∨ p) ∧ r
3(q ∨ p) ∧ ¬r
4¬(q ∨ p) → ¬r
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
أي عبارة تكافئ ¬∀x F(x) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.
¬∀x F(x)
1∃x F(x)
2∀x ¬F(x)
3∀x F(x)
4∃x ¬F(x)
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
العلاقة R على {1, 2, 3, 4} مرسومة كبيان موجَّه (الحلقة تعني (x, x) ∈ R). خاصية واحدة بالضبط من الخصائص الأربع صحيحة. انقر عليها.
R = {(2, 1), (2, 2), (4, 2)}
1انعكاسية
2متماثل
3ضد تناظرية
4متعدية
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
التقابل f على {1, 2, 3, 4, 5} معطى بجدوله. جد f−1(1).
f: 1 ↦ 5, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1
f−1(1) =
5.نظرية البياناتمتوسطة
هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.
|V| = 5|E| = 6
1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.
M = مصفوفة التجاورL = 3
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 19 بالنسبة إلى 67: العدد x مع 0 < x < 67 و 19·x ≡ 1 (mod 67).
a = 19n = 67
19−1 mod 67 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
شفّر الرسالة m = 208 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (527, 17). جد النص المشفّر c.
n = 527e = 17m = 208
c =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: (q ∨ p) ∧ ¬r
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
أجزاء الاستلزام
a = q ∨ p, b = r
نفي الاستلزام
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (q ∨ p) ∧ ¬r
الإجابة
(q ∨ p) ∧ ¬r
إذا أدى الافتراض إلى تناقض فالاستلزام صائب حتمًا.
2.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ∃x ¬F(x)
الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.
انقل النفي إلى الداخل
¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x)
الإجابة
∃x ¬F(x)
الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: ضد تناظرية
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
انعكاسية
تفشل: (1, 1) ∉ R
متماثل
تفشل: (2, 1) ∈ R, (1, 2) ∉ R
ضد تناظرية
تتحقق
متعدية
تفشل: (4, 2), (2, 1) ∈ R, (4, 1) ∉ R
الإجابة
ضد تناظرية
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: f−1(1) = 5
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
اقرأ الجدول عكسيًا
f(5) = 1 → f−1(1) = 5
الإجابة
f−1(1) = 5
5.نظرية البيانات
الإجابة: دارة أويلر
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.
مصفوفة التجاور
A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
خطوة إضافية
(M³)BB = 1·0 + 3·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2
الإجابة
N = 2
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 19−1 mod 67 = 60
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·19 (mod 67).
r = 67, t = 0
r = 19, q = 3, t = 1
r = 10, q = 1, t = −3
r = 9, q = 1, t = 4
r = 1, q = 9, t = −7
المعكوس
1 ≡ −7·19 (mod 67)
x = 60
تحقّق: 19·60 = 1140 = 17·67 + 1
الإجابة
19−1 mod 67 = 60
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: c = 446
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.