ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
تريد إثبات (a ∧ b) → c بالتناقض. أي عبارة تفترضها في البداية؟ انقر عليها.
(a ∧ b) → c
1¬(a ∧ b) ∧ c
2¬(a ∧ b) → ¬c
3(a ∧ b) ∧ ¬c
4¬(a ∧ b) ∧ ¬c
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل ¬(((p ↔ ¬s) → r) ∨ (q ∨ ¬s)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.
¬(((p ↔ ¬s) → r) ∨ (q ∨ ¬s))
N =
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
في مجموعة من 55 طالبًا، يتكلم 12 الفرنسية (F)، ويتكلم 25 الألمانية (G)، ويتكلم 29 الإسبانية (S). يتكلم 2 الفرنسية والألمانية، و6 الفرنسية والإسبانية، و12 الألمانية والإسبانية، ويتكلم 1 الثلاث جميعًا. كم عددهم ممن هم في F فقط؟
|U| = 55
|F − (G ∪ S)| =
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
يُظهر مخطط الأسهم دالة f: A → B مع A = {1, 2, 3} وB = {a, b, c}. انقر على الوصف الذي يناسب f.
f = {(1, b), (2, c), (3, a)}
1متباينة وغير شاملة
2شاملة وغير متباينة
3تقابلية
4لا هذه ولا تلك
5.نظرية البياناتمتوسطة
كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.
K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.
البداية: Aالنهاية: F
d(F) =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد دالة أويلر φ φ(21)، أي عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى 21 التي أولية مع 21.
n = 21 = 3·7
φ(21) =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
يستخدم مفتاح RSA القيم p = 17 و q = 29 و e = 11. فكّ تشفير النص المشفّر c = 454: جد الرسالة m.
p = 17q = 29e = 11c = 454
m =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: (a ∧ b) ∧ ¬c
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
أجزاء الاستلزام
a = a ∧ b, b = c
نفي الاستلزام
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (a ∧ b) ∧ ¬c
الإجابة
(a ∧ b) ∧ ¬c
إذا أدى الافتراض إلى تناقض فالاستلزام صائب حتمًا.
2.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: N = 1
جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.
المجموعات ومخططات فن: A ∪ B تضم العناصر الموجودة في A أو B (أو كليهما)، وA ∩ B العناصر الموجودة في كليهما، وA − B عناصر A التي ليست في B، والمتممة A′ كل ما في U وليس في A. في مخطط فن كل تعبير مجموعات هو اتحاد مناطق، فعُدّه منطقةً منطقةً. الاشتمال والاستبعاد: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|، و|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
المركز والأزواج
F ∩ G ∩ S: 1
F ∩ G فقط: 2 − 1 = 1
F ∩ S فقط: 6 − 1 = 5
G ∩ S فقط: 12 − 1 = 11
المجموعات المنفردة
F فقط: 12 − 1 − 5 − 1 = 5
G فقط: 25 − 1 − 11 − 1 = 12
S فقط: 29 − 5 − 11 − 1 = 12
الإجابة
|F − (G ∪ S)| = 5
الإجابة
|F − (G ∪ S)| = 5
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: تقابلية
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
متباينة؟
كل عنصر من B يتلقى سهمًا واحدًا على الأكثر، إذن الدالة متباينة
شاملة؟
كل عنصر من B يتلقى سهمًا، إذن الدالة شاملة
الإجابة
تقابلية
الإجابة
تقابلية
5.نظرية البيانات
الإجابة: H = 2520
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
عُدّ
H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520
الإجابة
H = 2520
6.نظرية البيانات
الإجابة: d(F) = 22
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
ديكسترا جولةً جولةً
كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.
A (0): B: 8, C: 13
B (8): C: 10, D: 18
C (10): E: 20
D (18): F: 22
E (20)
F (22)
أقصر مسار
A → B → D → F
d(F) = 22
الإجابة
d(F) = 22
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: φ(21) = 12
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
العوامل الأولية
21 = 3·7
دالة أويلر φ
φ(21) = φ(7)·φ(3) = 6·2 = 12
الإجابة
φ(21) = 12
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: m = 453
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.