ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
تريد إثبات q → p بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.
q → p
1q ∧ ¬p
2¬p → ¬q
3¬q → ¬p
4p → q
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل (p ↔ (q ∧ ¬s)) ∨ (¬(q ∨ r) → (p → s)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.
(p ↔ (q ∧ ¬s)) ∨ (¬(q ∨ r) → (p → s))
N =
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
من بين 44 طالبًا في السنة الأولى، نجح 32 في الرياضيات (M)، ونجح 15 في الفيزياء (P)، ونجح 12 فيهما معًا. كم عددهم ممن هم في واحدة على الأقل من المجموعتين؟
|U| = 44|M| = 32|P| = 15|M ∩ P| = 12
|M ∪ P| =
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
يُظهر مخطط الأسهم دالة f: A → B مع A = {1, 2, 3, 4} وB = {a, b, c, d}. انقر على الوصف الذي يناسب f.
f = {(1, c), (2, b), (3, a), (4, c)}
1متباينة وغير شاملة
2شاملة وغير متباينة
3تقابلية
4لا هذه ولا تلك
5.نظرية البياناتمتوسطة
لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟
2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من D إلى A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.
M = مصفوفة التجاورL = 3
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 8 (mod 11) و x ≡ 6 (mod 13).
x ≡ 8 (mod 11)x ≡ 6 (mod 13)
x =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
شفّر الرسالة m = 754 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (1271, 7). جد النص المشفّر c.
n = 1271e = 7m = 754
c =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ¬p → ¬q
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.
المجموعات ومخططات فن: A ∪ B تضم العناصر الموجودة في A أو B (أو كليهما)، وA ∩ B العناصر الموجودة في كليهما، وA − B عناصر A التي ليست في B، والمتممة A′ كل ما في U وليس في A. في مخطط فن كل تعبير مجموعات هو اتحاد مناطق، فعُدّه منطقةً منطقةً. الاشتمال والاستبعاد: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|، و|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
المناطق
M ∩ P: 12
M − P: 32 − 12 = 20
P − M: 15 − 12 = 3
(M ∪ P)′: 44 − (20 + 3 + 12) = 9
الإجابة
|M ∪ P| = 35
الإجابة
|M ∪ P| = 35
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: لا هذه ولا تلك
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
متباينة؟
f(1) = f(4) = c → غير متباينة
شاملة؟
d لا تتلقى سهمًا → غير شاملة
الإجابة
لا هذه ولا تلك
الإجابة
لا هذه ولا تلك
5.نظرية البيانات
الإجابة: L = 24
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
مبرهنة المصافحة لشجرة
L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24
الإجابة
L = 24
اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.
6.نظرية البيانات
الإجابة: N = 2
الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.
مصفوفة التجاور
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0
خطوة إضافية
(M³)DA = 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 + 1·0 = 2
الإجابة
N = 2
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: x = 19
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
التطابق الأول
x = 8 + 11k
التطابق الثاني
8 + 11k ≡ 6 (mod 13) → 11k ≡ 11 (mod 13)
k ≡ 6·11 ≡ 1 (mod 13)
النتيجة
x = 8 + 11·1 = 19
x = 19
تحقّق: 19 mod 11 = 8, 19 mod 13 = 6
الإجابة
x = 19
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: c = 51
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.