ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
نظرية البيانات
مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij
الطريقة
اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
نظرية الأعداد والحساب المودولي
القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2مسائل تدريبية
1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
تريد إثبات (c ∧ b) → a بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.
(c ∧ b) → a
1a → (c ∧ b)
2¬a → ¬(c ∧ b)
3(c ∧ b) ∧ ¬a
4¬(c ∧ b) → ¬a
2.المنطق القضوي والبراهينصعبة
المقدمات b ∨ c; ¬b معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.
b ∨ c¬b
1¬c
2c
3b
4b ∧ c
3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة
R = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)} علاقة على {1, 2, 3}. ما أصغر عدد k من الأزواج المرتبة يجب إضافته إلى R لتصبح انعكاسية؟
R = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)}
k =
4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة
يُظهر مخطط الأسهم دالة f: A → B مع A = {1, 2, 3, 4} وB = {a, b, c, d}. انقر على الوصف الذي يناسب f.
f = {(1, c), (2, d), (3, a), (4, b)}
1متباينة وغير شاملة
2شاملة وغير متباينة
3تقابلية
4لا هذه ولا تلك
5.نظرية البياناتمتوسطة
هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.
|V| = 7|E| = 8
1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.
البداية: Aالجولة 5
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 27 بالنسبة إلى 59: العدد x مع 0 < x < 59 و 27·x ≡ 1 (mod 59).
a = 27n = 59
27−1 mod 59 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
كم حلًّا N للتطابق 21x ≡ 9 (mod 33) في {0, 1, …, 32}؟
21x ≡ 9 (mod 33)
N =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ¬a → ¬(c ∧ b)
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.
الصفوف التي كل مقدماتها صائبة
b = 0, c = 1: ¬c = 0, c = 1, b = 0, b ∧ c = 0
الخلاصة
c (القياس الفصلي)
الإجابة
c
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: k = 3
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
الأزواج المطلوب إضافتها
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
عُدّ
k = 3
الإجابة
k = 3
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: تقابلية
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
متباينة؟
كل عنصر من B يتلقى سهمًا واحدًا على الأكثر، إذن الدالة متباينة
شاملة؟
كل عنصر من B يتلقى سهمًا، إذن الدالة شاملة
الإجابة
تقابلية
الإجابة
تقابلية
5.نظرية البيانات
الإجابة: لا هذه ولا تلك
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
ديكسترا جولةً جولةً
1. A (0): B: 13, C: 5
2. C (5): E: 17
3. B (13): D: 23
4. E (17): F: 20
5. F (20)
6. D (23)
الجولة 5
F
الإجابة
F
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 27−1 mod 59 = 35
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·27 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 27, q = 2, t = 1
r = 5, q = 5, t = −2
r = 2, q = 2, t = 11
r = 1, q = 2, t = −24
المعكوس
1 ≡ −24·27 (mod 59)
x = 35
تحقّق: 27·35 = 945 = 16·59 + 1
الإجابة
27−1 mod 59 = 35
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: N = 3
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).