الرياضيات المتقطعة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المجموعات والعلاقات والدوال

مجموعتان: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
ثلاث مجموعات: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
الفرق والمتممة: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
مجموعة القوى والجداء الديكارتي: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
المجموعات الجزئية ذات الحجم k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
الدوال A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
العلاقات على n عنصرًا: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
التركيب: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

الطريقة

ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2مسائل تدريبية

1.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b))

N =

2.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∃x (A(x) → B(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∃x (A(x) → B(x))

1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∀x (¬A(x) → ¬B(x))

3.المجموعات والعلاقات والدوالمتوسطة

في مجموعة من 34 طالبًا، يتكلم 18 الفرنسية (F)، ويتكلم 18 الألمانية (G)، ويتكلم 11 اللغتين معًا. كم عددهم ممن هم في F لكن ليسوا في G؟

|U| = 34|F| = 18|G| = 18|F ∩ G| = 11

|F − G| =

4.المجموعات والعلاقات والدوالصعبة

يُظهر مخطط الأسهم دالة f: A → B مع A = {1, 2, 3, 4, 5} وB = {a, b}. انقر على الوصف الذي يناسب f.

f = {(1, b), (2, b), (3, a), (4, a), (5, b)}

1متباينة وغير شاملة
2شاملة وغير متباينة
3تقابلية
4لا هذه ولا تلك

5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 34 × deg 2

L =

6.نظرية البياناتصعبة

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 3 (mod 7) و x ≡ 7 (mod 8).

x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 7 (mod 8)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

يستخدم مفتاح RSA العددين الأوليين p = 43 و q = 47 والأس العام e = 11. جد الأس الخاص d (0 < d < φ(n)).

p = 43q = 47e = 11

d =

3المحاليل

1.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 4

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: a ↔ c = 1, ¬a = 0, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 1, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 0

a = 1, b = 1, c = 0: a ↔ c = 0, ¬a = 0, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 0, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: a ↔ c = 1, ¬a = 0, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 1, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: a ↔ c = 0, ¬a = 0, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 0, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: a ↔ c = 0, ¬a = 1, ¬a ∧ b = 1, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 0, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: a ↔ c = 1, ¬a = 1, ¬a ∧ b = 1, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 1, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: a ↔ c = 0, ¬a = 1, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 0, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: a ↔ c = 1, ¬a = 1, ¬a ∧ b = 0, (¬a ∧ b) → b = 1, (a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b) = 1, ¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

¬((a ↔ c) ∧ ((¬a ∧ b) → b)): 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0

N = 4

الإجابة

N = 4

2.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

الإجابة

∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

3.المجموعات والعلاقات والدوال

الإجابة: |F − G| = 7

المجموعات ومخططات فن: A ∪ B تضم العناصر الموجودة في A أو B (أو كليهما)، وA ∩ B العناصر الموجودة في كليهما، وA − B عناصر A التي ليست في B، والمتممة A′ كل ما في U وليس في A. في مخطط فن كل تعبير مجموعات هو اتحاد مناطق، فعُدّه منطقةً منطقةً. الاشتمال والاستبعاد: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|، و|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

المناطق

F ∩ G: 11

F − G: 18 − 11 = 7

G − F: 18 − 11 = 7

(F ∪ G)′: 34 − (7 + 7 + 11) = 9

الإجابة

|F − G| = 7

الإجابة

|F − G| = 7

4.المجموعات والعلاقات والدوال

الإجابة: شاملة وغير متباينة

الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.

متباينة؟

f(1) = f(2) = b → غير متباينة

شاملة؟

كل عنصر من B يتلقى سهمًا، إذن الدالة شاملة

الإجابة

شاملة وغير متباينة

الإجابة

شاملة وغير متباينة

5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 17 = 2(L + 7) − 2

L = 5

الإجابة

L = 5

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 13, C: 7

2. C (7): E: 16

3. B (13)

4. E (16): D: 26, F: 18

5. F (18): D: 25

6. D (25)

الجولة 4

الإجابة

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 31

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

التطابق الأول

x = 3 + 7k

التطابق الثاني

3 + 7k ≡ 7 (mod 8) → 7k ≡ 4 (mod 8)

k ≡ 7·4 ≡ 4 (mod 8)

النتيجة

x = 3 + 7·4 = 31

x = 31

تحقّق: 31 mod 7 = 3, 31 mod 8 = 7

الإجابة

x = 31

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: d = 527

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

المقياس ودالة أويلر

n = 43·47 = 2021

φ(n) = 42·46 = 1932

خوارزمية إقليدس الموسّعة

r = 1932, t = 0

r = 11, q = 175, t = 1

r = 7, q = 1, t = −175

r = 4, q = 1, t = 176

r = 3, q = 1, t = −351

r = 1, q = 3, t = 527

الأس الخاص

d = 527

تحقّق: 11·527 = 5797 = 3·1932 + 1

الإجابة

d = 527

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics