لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟
3 × deg 34 × deg 4
L =
6.نظرية البياناتصعبة
استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.
البداية: Aالنهاية: F
d(F) =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 53 بالنسبة إلى 55: العدد x مع 0 < x < 55 و 53·x ≡ 1 (mod 55).
a = 53n = 55
53−1 mod 55 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
يستخدم مفتاح RSA العددين الأوليين p = 11 و q = 43 والأس العام e = 11. جد الأس الخاص d (0 < d < φ(n)).
p = 11q = 43e = 11
d =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: q ↔ ¬r
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
القانون
¬(a ↔ b) تساوي 1 بالضبط عندما يختلف a و b، وهذا هو a ↔ ¬b.
¬(q ↔ r) ≡ q ↔ ¬r
تحقق بجدول الصدق
q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1
q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 1
q = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 0
الإجابة
q ↔ ¬r
الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.
2.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ∃x ¬F(x)
الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.
انقل النفي إلى الداخل
¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x)
الإجابة
∃x ¬F(x)
الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: متعدية
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
انعكاسية
تفشل: (1, 1) ∉ R
متماثل
تفشل: (2, 3) ∈ R, (3, 2) ∉ R
ضد تناظرية
تفشل: (2, 4), (4, 2) ∈ R
متعدية
تتحقق
الإجابة
متعدية
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: (f ∘ f)(4) = 5
الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.
الدالة الداخلية
f(4) = 3
الدالة الخارجية
f(3) = 5
(f ∘ f)(4) = 5
الإجابة
(f ∘ f)(4) = 5
5.نظرية البيانات
الإجابة: L = 13
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
مبرهنة المصافحة لشجرة
L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13
الإجابة
L = 13
اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.
6.نظرية البيانات
الإجابة: d(F) = 22
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
ديكسترا جولةً جولةً
كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.
A (0): B: 6, C: 14
B (6): C: 8, D: 14, G: 10
C (8): E: 19, G: 9
G (9): D: 12
D (12)
E (19): F: 22
F (22)
أقصر مسار
A → B → C → E → F
d(F) = 22
الإجابة
d(F) = 22
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 53−1 mod 55 = 27
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·53 (mod 55).
r = 55, t = 0
r = 53, q = 1, t = 1
r = 2, q = 26, t = −1
r = 1, q = 2, t = 27
المعكوس
1 ≡ 27·53 (mod 55)
x = 27
تحقّق: 53·27 = 1431 = 26·55 + 1
الإجابة
53−1 mod 55 = 27
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: d = 191
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.