على X = {1, 2, …, 8} تتحقق العلاقة x ~ y عندما x ≡ y (mod 4). كم عنصرًا في صف التكافؤ [6]؟
X = {1, …, 8}x ~ y ⟺ 4 | (x − y)
|[6]| =
5.نظرية البياناتمتوسطة
بيان متصل له 19 رؤوس و24 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟
|V| = 19|E| = 24
k =
6.نظرية البياناتصعبة
كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من C إلى D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.
M = مصفوفة التجاورL = 3
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 58 بالنسبة إلى 91: العدد x مع 0 < x < 91 و 58·x ≡ 1 (mod 91).
a = 58n = 91
58−1 mod 91 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
13 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 92366 mod 13.
p = 13k = 2366
92366 mod 13 =
3المحاليل
1.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: p ↔ ¬q
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
القانون
¬(a ↔ b) تساوي 1 بالضبط عندما يختلف a و b، وهذا هو a ↔ ¬b.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q
تحقق بجدول الصدق
p = 1, q = 1: 0 | 1 0 0 0
p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 1
p = 0, q = 1: 1 | 0 1 0 1
p = 0, q = 0: 0 | 1 0 0 1
الإجابة
p ↔ ¬q
الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.
2.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: ¬r
الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.
الصفوف التي كل مقدماتها صائبة
p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, r ∧ ¬p = 0, r = 0, ¬r = 1
الخلاصة
¬r (قاعدة الرفع مع وصل)
الإجابة
¬r
3.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: k = 5
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
الأزواج المطلوب إضافتها
{(4, 1), (3, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}
عُدّ
k = 5
الإجابة
k = 5
4.المجموعات والعلاقات والدوال
الإجابة: |[6]| = 2
العلاقات: العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y). تكون R انعكاسية عندما (x, x) ∈ R لكل x في X؛ وتناظرية عندما يرافق (x, y) ∈ R دائمًا (y, x) ∈ R؛ وضد تناظرية عندما يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط إذا x = y؛ ومتعدية عندما يفرض (x, y) و(y, z) في R أن (x, z) ∈ R. علاقة التكافؤ انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وتقسّم X إلى صفوف منفصلة.
الصف
[6] = {2, 6}
|[6]| = 2
الإجابة
|[6]| = 2
5.نظرية البيانات
الإجابة: k = 6
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
حواف الشجرة الممتدة
19 − 1 = 18
الحواف المراد حذفها
k = 24 − 18 = 6
الإجابة
k = 6
6.نظرية البيانات
الإجابة: N = 2
الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.
مصفوفة التجاور
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
خطوة إضافية
(M³)CD = 0·0 + 2·1 + 2·0 + 1·0 + 0·1 = 2
الإجابة
N = 2
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 58−1 mod 91 = 11
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·58 (mod 91).
r = 91, t = 0
r = 58, q = 1, t = 1
r = 33, q = 1, t = −1
r = 25, q = 1, t = 2
r = 8, q = 3, t = −3
r = 1, q = 8, t = 11
المعكوس
1 ≡ 11·58 (mod 91)
x = 11
تحقّق: 58·11 = 638 = 7·91 + 1
الإجابة
58−1 mod 91 = 11
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 92366 mod 13 = 3
القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.